CF407 E. k-d-sequence

problem

solution

• special case，$d=0$，相当于寻找最长的一段数字相同的区间

• other case，如果要满足公差为$d$等差序列

  • 区间内每个数在模$d$意义下同余
  • 每个数互不相同

• 算法流程

  • 先将序列分成若干个同余$m$的子区间，从左往右扫一遍，即可得到

  • 对于同余的子区间，把所有数进行$\frac{x-r}{d}$的操作，转化为求公差为$1$的等差数列

  • 对于区间$[l,r]$，需要增加的个数max⁡{xi∣l≤i≤r}−min⁡{xi∣l≤i≤r}+1−(r−l+1)\max\{x_i|l\le i\le r\}-\min\{x_i|l\le i\le r\}+1-(r-l+1)max{xi​∣l≤i≤r}−min{xi​∣l≤i≤r}+1−(r−l+1)

    满足增加个数$\le k$

  • 从小到大顺次枚举$r$，那么就是要最小化$l$

    • $[l,r]$区间不重复

      可以通过map快速查到与$x_r$值相同的点的位置，假设为$pos$

      则需满足$pos<l$

    • 加的数个数不能超过$k$

      max⁡{xi∣l≤i≤r}−min⁡{xi∣l≤i≤r}+1−(r−l+1)≤k\max\{x_i|l\le i\le r\}-\min\{x_i|l\le i\le r\}+1-(r-l+1)\le kmax{xi​∣l≤i≤r}−min{xi​∣l≤i≤r}+1−(r−l+1)≤k

      $\Updownarrow$

      max⁡{xi∣l≤i≤r}−min⁡{xi∣l≤i≤r}+l≤k+r\max\{x_i|l\le i\le r\}-\min\{x_i|l\le i\le r\}+l\le k+rmax{xi​∣l≤i≤r}−min{xi​∣l≤i≤r}+l≤k+r

      用线段数维护wl=max⁡{xi∣l≤i≤r}−min⁡{xi∣l≤i≤r}+lw_l=\max\{x_i|l\le i\le r\}-\min\{x_i|l\le i\le r\}+lwl​=max{xi​∣l≤i≤r}−min{xi​∣l≤i≤r}+l

      设$l$的下界为$pos$，则要在$[pos,r]$找最左边的$l$，满足$w_l\le k+r$

• 最后只剩下如何维护$w$

  单调栈，维护一个递增单调栈和一个递减单调栈。以递减为例

  递减单调栈当一个大于栈顶的元素加入时，会不断弹出栈顶，因此单调栈可以将$max(L,R)$分成递减的若干段

  单调栈中的一个点其实代表的是一个区间，弹栈顶相当于最大值变化

  被弹出的元素的线段树的最大值变化即是线段树上区间加
  

code

#include <map>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 200005
map < int, int > last;
int n, k, d, pos, flag, ans_l = 1, ans_r = 1;
int a[maxn], Min[maxn], Max[maxn];
int t[maxn << 4], tag[maxn << 4];void build( int num, int l, int r ) {t[num] = l, tag[num] = 0;if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;build( num << 1, l, mid );build( num << 1 | 1, mid + 1, r );
}void pushdown( int num ) {t[num << 1] += tag[num];tag[num << 1] += tag[num];t[num << 1 | 1] += tag[num];tag[num << 1 | 1] += tag[num];tag[num] = 0;
}void modify( int num, int l, int r, int pos ) {pushdown( num );if( l == r ) {t[num] = 0;return;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( pos <= mid ) modify( num << 1, l, mid, pos );else modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, pos );t[num] = min( t[num << 1], t[num << 1 | 1] );
}void modify( int num, int l, int r, int L, int R, int w ) {if( R < l || r < L ) return; if( L <= l && r <= R ) {t[num] += w, tag[num] += w;return;}pushdown( num );int mid = ( l + r ) >> 1;modify( num << 1, l, mid, L, R, w );modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, w );t[num] = min( t[num << 1], t[num << 1 | 1] );
}void find( int num, int l, int r, int k ) {if( l == r ) {pos = l, flag = 1;return;}pushdown( num );int mid = ( l + r ) >> 1;if( t[num << 1] <= k ) find( num << 1, l, mid, k );else find( num << 1 | 1, mid + 1, r, k );
}void query( int num, int l, int r, int L, int R, int k ) {if( flag || r < L || R < l ) return;if( L <= l && r <= R ) {if( t[num] <= k ) find( num, l, r, k );return;}pushdown( num );int mid = ( l + r ) >> 1;query( num << 1, l, mid, L, R, k );query( num << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, k );
}signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &k, &d );	for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%lld", &a[i] );if( ! d ) {int l = 0, r = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( a[i] != a[i - 1] ) l = r = i;else ++ r;if( r - l > ans_r - ans_l ) ans_r = r, ans_l = l;}return ! printf( "%lld %lld\n", ans_l, ans_r );}build( 1, 1, n );int min_top = 0, max_top = 0;for( int r = 1, l = 1;r <= n;r ++ ) {int t = l;if( ( a[r] - a[r - 1] ) % d ) l = r;//要求同余else l = max( l, last[a[r]] + 1 );//取max维护不重复的条件last[a[r]] = r;while( t < l ) modify( 1, 1, n, t ++ );//清除不属于[l,r]区间的所有线段树痕迹//Min:维护min{a[i]|l<=i<=r}的递增栈//Max:维护max{a[i]|l<=i<=r}的递减栈//栈内点管辖一个区间eg:s[top]管辖(s[top-1],s[top]] //w[l]=max[L,R]-min[L,R]+lwhile( min_top && Min[min_top] >= l && a[Min[min_top]] > a[r] ) {modify( 1, 1, n, Min[min_top - 1] + 1, Min[min_top], a[Min[min_top]] / d );//[L,R]中最小值变小 先把之前-min(L,R)的贡献抵消掉 所以是+min_top --;}//把现在真正的min(L,R)贡献放进去 所以是- modify( 1, 1, n, max( l, Min[min_top] + 1 ), r, -a[r] / d );Min[++ min_top] = r;while( max_top && Max[max_top] >= l && a[Max[max_top]] < a[r] ) {modify( 1, 1, n, Max[max_top - 1] + 1, Max[max_top], -a[Max[max_top]] / d );max_top --;}//取左端点max比较是保证单调栈中每个点管辖区间不重复且并集为整个大区间 modify( 1, 1, n, max( l, Max[max_top] + 1 ), r, a[r] / d );Max[++ max_top] = r;flag = 0, pos = 0;query( 1, 1, n, l, r, k + r );if( r - pos > ans_r - ans_l ) ans_l = pos, ans_r = r;}printf( "%lld %lld\n", ans_l, ans_r );return 0;
}