有用的式子

1.（牛顿二项式定理）

我们把组合数的定义推广：
$(rk)=rk‾k!(r∈C,k∈N)\binom{r}{k}=\frac{r^{\underline{k}}}{k!}\space(r\in \mathbf{C},k\in \mathbf{N})$
其中 $rk‾r^{\underline{k}}$ 指下降幂，即 $∏i=0k−1(r−i)\prod_{i=0}^{k-1}(r-i)$ 。（不过大多数时候我们只需要用到实数域的定义）
然后我们就可以对二项式定理进行推广：
$(1+x)r=∑i≥0(ri)xi(r∈C)(1+x)^{r}=\sum_{i\ge0}\binom{r}{i}x^i\space(r\in \mathbf{C})$

2.

对于组合数：
$(n+mm)\binom{n+m}{m}$
我们考虑其实际意义，枚举其与最右侧相连的极长连续段长度 $i$ ，那么就有：
$(n+mm)=∑i=0m(n+m−i−1m−i)=∑i=0m(n+i−1i)\binom{n+m}{m}=\sum_{i=0}^m\binom{n+m-i-1}{m-i}=\sum_{i=0}^m\binom{n+i-1}{i}$
我们常常会用到这个式子的反演。

普通生成函数（OGF）

数列 $a$ 的普通生成函数为：
$F(x)=∑n=0anxnF(x)=\sum_{n=0}a_nx_n$
卷积性质：
$A(x)∗B(x)=∑n=0xn∑i=0naibn−iA(x)*B(x)=\sum_{n=0}x^n\sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i}$

常见封闭形式：

1.

$∑n=0xn=11−x\sum_{n=0}x^n=\frac{1}{1-x}$
$∑n=0kxn=1−xk+11−x\sum_{n=0}^{k}x^n=\frac{1-x^{k+1}}{1-x}$
证明：
就是等比求和公式。

2.

$∑n=0(n+k−1k−1)xn=1(1−x)k\sum_{n=0}\binom{n+k-1}{k-1}x^n=\frac{1}{(1-x)^k}$
证明：

数学归纳法：结合式子一大力揉式子。
隔板法：第 $n$ 项的系数等同于从 $k$ 个 $∑n=0xn\sum_{n=0}x^n$ 中个选出一项，次数后恰好为 $n$ 的方案数，那么就转换为 $k$ 个有序非负整数加和为 $n$ 的方案数。全加一后隔板即可。

3.

$∑n=0(nk)xn=xk(1−x)k+1\sum_{n=0}\binom{n}{k}x^{n}=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$
证明：
第二个式子，为了方便稍微变下形：
$∑n=0(n+kk)xn=1(1−x)k+1\sum_{n=0}\binom{n+k}{k}x^n=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}$
然后两边同乘 $x^k$ ：
$∑n=0(n+kk)xn+k=xk(1−x)k+1\sum_{n=0}\binom{n+k}{k}x^{n+k}=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$
$∑n=k(nk)xn=xk(1−x)k+1\sum_{n=k}\binom{n}{k}x^{n}=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$
由于 $n < k$ 是组合数全是0，所以求和可以伸下去，得到：
$∑n=0(nk)xn=xk(1−x)k+1\sum_{n=0}\binom{n}{k}x^{n}=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$

4.

$∑n=0(kn)xn=(1+x)k\sum_{n=0}\binom{k}{n}x^n=(1+x)^k$
证明：
二项式定理即可。

指数生成函数（EGF）

数列 $a$ 的指数生成函数为：
$F^(x)=∑i=0ain!xi\hat{F}(x)=\sum_{i=0}\frac{a_i}{n!}x^i$
卷积性质：
$A^(x)∗B^(x)=∑n=0xn∑i=0n(ni)aibn−i\hat{A}(x)*\hat{B}(x)=\sum_{n=0}x^n\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a_ib_{n-i}$

排列与圆排列

排列的方案数为 $n!$ ，其 EGF 为：
$P^(x)=∑n!n!xn=11−x\hat{P}(x)=\sum\frac{n!}{n!}x^n=\frac{1}{1-x}$
类似于组合数的证明，每个圆排列对应 $n$ 个排列，方案数为 $(n - 1)!$ ，其 EGF 为：
$Q^(x)=∑(n−1)!n!xn=∑xnn=−ln⁡(1−x)=ln⁡11−x=ln⁡P^(x)\hat{Q}(x)=\sum\frac{(n-1)!}{n!}x^n=\sum\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)=\ln\frac{1}{1-x}=\ln\hat{P}(x)$
（ $∑xnn=−ln⁡(1−x)\sum\dfrac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$ 可通过对两边求导再积分证明）
这个关系可以这么理解：每个排列可以形成若干个置换环，每个置换环都是一个圆排列问题。
所以 当一个问题 $F$ 可以转化为按照任意方法分成若干集合，每种划分的贡献是每个集合 $G$ 问题的方案累乘起来时，它们的 EGF 就有如下等量关系：
$F^(x)=exp⁡(G^(x))\hat{F}(x)=\exp(\hat{G}(x))$