【模板】k短路 / [SDOI2010]魔法猪学院

description

iPig 在假期来到了传说中的魔法猪学院，开始为期两个月的魔法猪训练。经过了一周理论知识和一周基本魔法的学习之后，iPig 对猪世界的世界本原有了很多的了解：众所周知，世界是由元素构成的；元素与元素之间可以互相转换；能量守恒$\dots \dots \dots$

iPig 今天就在进行一个麻烦的测验。iPig 在之前的学习中已经知道了很多种元素，并学会了可以转化这些元素的魔法，每种魔法需要消耗 iPig 一定的能量。作为 PKU 的顶尖学猪，让 iPig 用最少的能量完成从一种元素转换到另一种元素…等等，iPig 的魔法导猪可没这么笨！这一次，他给 iPig 带来了很多 1 号元素的样本，要求 iPig 使用学习过的魔法将它们一个个转化为 N 号元素，为了增加难度，要求每份样本的转换过程都不相同。这个看似困难的任务实际上对 iPig 并没有挑战性，因为，他有坚实的后盾…现在的你呀！

注意，两个元素之间的转化可能有多种魔法，转化是单向的。转化的过程中，可以转化到一个元素（包括开始元素）多次，但是一但转化到目标元素，则一份样本的转化过程结束。iPig 的总能量是有限的，所以最多能够转换的样本数一定是一个有限数。具体请参看样例。
输入格式

第一行三个数 N,M,E，表示 iPig 知道的元素个数（元素从 1 到 N 编号），iPig 已经学会的魔法个数和 iPig 的总能量。

后跟 M 行每行三个数 si,ti,ei​ 表示 iPig 知道一种魔法，消耗 ei​ 的能量将元素 si 变换到元素 ti

solution

对于原图以终点$t$为根建立一棵任意的最短路径树$T$，即我们所谓的反图

从$t$跑出到所有点的最短路$dis$

显然，从点$s$到终点$t$可能有不止一条路径，也有可能不止一条最短路

如果两条边都能出现在$T$上，且两条边又只能出现一条，那么随便选一条即可

定义：对于一条原图边$u\to v$，$u$为这条边的起点，$v$为这条边的终点

显然，如果一条原边出现在$T$上，那么$v$一定是$u$的祖先

这个最短路径树有几个性质

• 性质Ⅰ

  对于一条$s\to t$的路径，将这条路径依次经过的边的集合，记为边集$E$，或路径$E$

  然后去掉$E$与$T$的交集，记为边集$E^{\prime }$，或路径$E^{\prime }$

  也就是说，一条路径$P$指代的是这条路径包含的所有边的集合

  那么对于$E^{\prime }$中任意相邻的两条边（从原图的方向$s\to t$来看）$a,b$，即先走边$a$再走边$b$

  满足$b$的起点在$T$中为$a$的终点的祖先或者相同点

  因为$a,b$两边之间要么由树边相连，要么直接相连

• 性质Ⅱ

  对于不在$T$的一条边$e$，$u,v$分别为起点/终点，边权为$w$

  定义${\Delta }_e=di{s}_v+w-di{s}_u$，即选这条边与最短路的差值

  设$L_E$为一条路径的长度，这条路径为$s\to t$

  显然有$L_E={\sum }_{e\in E^{\prime }}{\Delta }_e+di{s}_s$

• 性质Ⅲ

  对于满足性质Ⅰ的中$E^{\prime }$的定义的边集$P$，有且只有一条$s\to t$的路径$E$，使得$P=E^{\prime }$

  因为$T$上任意两点之间有且仅有一条路径

---

这道题就转化为了求第$K$小满足性质Ⅰ的路径$E^{\prime }$的定义的边集

最短路径肯定是$T$上的$di{s}_1$

用小根堆维护边集$E$，初始为空集（事实上只要维护当前刻画出的路径的最后一条边的起点（尾端）即可，空集就是整条路径的起点$s$，本题中就是点$1$）

一个点可以延伸多条边，也就刻画出了多条不同的路径，这些路径都需要分开记录

对于已刻画的所有路径，取出最小权值的路径$E$，设当前尾部边的起点为$u$

有两种新路径的刻画

• 将这个边集的最后一条边，替换成另外一条以$u$为起点的权值大于等于当前边权值的非树边
• 这条最后边的终点为$v$，在这条边的后面接一条 在$T$中为$v$祖先（含$v$自身）的点 能延伸的所有非树边的 最小边

问题就是怎么维护祖先延伸的所有非树边的最小边

从祖先转移过来，最小堆合并即可

每个点的自身信息也要保留，不能和祖先的边混合，这是为了转移Ⅰ，替换最后一条边

那么可持久化即可

⚠：最后注意一下，以$n$为起点的边（这种魔法可以将$n$元素转化成其他元素）是不能要的
因为本题，到了$n$元素就意味着这次转化成功了，就此就终止了

你谷第一个数据点就是卡的这个小细节

code

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define Pair pair < double, int >
#define inf 0x7f7f7f7f
#define maxm 200005
#define maxn 5005
struct edge { int u, v; double w; }E[maxm];
struct node { int lson, rson, dis, End; double val; }t[maxm * 50];
priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > q;
vector < int > G[maxn];
int n, m, cnt;
double En;
int f[maxn], root[maxn];
double dis[maxn];
bool vis[maxn], used[maxm];int Newnode( double val, int End ) {int now = ++ cnt;t[now].End = End;t[now].val = val;return now;
}int merge( int x, int y ) {if( ! x or ! y ) return x + y;if( t[x].val > t[y].val ) swap( x, y );int now = ++ cnt;t[now] = t[x];t[now].rson = merge( t[x].rson, y );if( t[t[now].lson].dis < t[t[now].rson].dis )swap( t[now].lson, t[now].rson );t[now].dis = t[t[now].rson].dis + 1;return now;
}void dfs( int u ) {vis[u] = 1;for( auto id : G[u] ) {auto v = E[id].v;auto w = E[id].w;if( ! vis[v] and dis[v] == dis[u] + w )f[v] = u, used[id] = 1, dfs( v );}
}int main() {scanf( "%d %d %lf", &n, &m, &En );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d %lf", &E[i].v, &E[i].u, &E[i].w );if( E[i].v == n ) i --, m --;else G[E[i].u].push_back( i );}memset( dis, 0x7f, sizeof( dis ) );q.push( make_pair( dis[n] = 0, n ) );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second; q.pop();if( vis[u] ) continue;vis[u] = 1;for( auto id : G[u] ) {auto v = E[id].v;auto w = E[id].w;if( dis[v] > dis[u] + w )q.push( make_pair( dis[v] = dis[u] + w, v ) );}}memset( vis, 0, sizeof( vis ) );dfs( n );for( int i = 1;i <= m;i ++ )if( used[i] ) continue;else {auto u = E[i].u;auto v = E[i].v;auto w = E[i].w;if( dis[u] == inf or dis[v] == inf ) continue;else root[v] = merge( root[v], Newnode( dis[u] + w - dis[v], u ) );}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) q.push( make_pair( dis[i], i ) );while( ! q.empty() ) {int now = q.top().second; q.pop();if( f[now] ) root[now] = merge( root[now], root[f[now]] );}int ans = 0;if( dis[1] <= En ) En -= dis[1], ans ++;if( root[1] ) q.push( make_pair( t[root[1]].val, root[1] ) );while( ! q.empty() ) {auto w = q.top().first;auto now = q.top().second;q.pop();if( dis[1] + w > En ) break;else ans ++, En -= dis[1] + w;if( t[now].lson ) //转移一 替换最后一条边q.push( make_pair( w - t[now].val + t[t[now].lson].val, t[now].lson ) );if( t[now].rson )q.push( make_pair( w - t[now].val + t[t[now].rson].val, t[now].rson ) ); if( root[t[now].End] ) //转移二 找边终点所有祖先的可扩展最小非树边 q.push( make_pair( w + t[root[t[now].End]].val, root[t[now].End] ) );}printf( "%d\n", ans );return 0;
}