Acwing 1081. 度的数量(以及本人对数位dp的浅薄理解)

题意:

求给定区间 [X,Y] 中满足下列条件的整数个数:这个数恰好等于 K 个互不相等的 B 的整数次幂之和。

题解:

数位DP
技巧1:[X,Y]=>f(Y)-f(X-1)
技巧2:用树的方式来考虑。

在本题中,题意是问[X,Y]中的数 转发成B进制,B进制有K位是1
比如样例中:17 ,k=2,B=2
就是把17转成二进制,看二进制中是否有K个1
17的二进制是:10001,说明17=24+20,符合要求
我们现在想具体做法:我们利用前缀和的方式,想法1~n之间符合要求的个数,这样就可以方便求出任意区间的数量。
对于一个N位数,我们将N的各位拆成an-1到a0(从高到底),然后我们用树的形式来考虑,对于最高位an-1,他可以是an-1或者是0到an-1-1之间的数,如果是0到an-1-1之间的数,我们具体讨论,如果是1,说明剩下位置是需要k-1个1,如果是非1,剩下位置只需要k个1,直接用组合数就可以表示(如图),而对于第an-1位是an-1的话我们可以继续分解
在这里插入图片描述
参考题解(下图来源)
在这里插入图片描述

谈谈我对数位dp的理解,为什么要拆分成左右两侧,左侧是0 ~ an-1,右侧为an,我的理解:数位dp就是一种优化的统计的方式,因为我们计算的是1~n中所有满足答案的情况,那统计的x一定要小于等于n,我们将n拆成各位,我们从高位向低位枚举时,假如说n是7854,我们将n拆成开,就是4位,从高到低分别是7,8,5,4,我们在枚举第一位(最高位时),最高位如果我们枚举0 ~ 6,那么后三位可以是任意数,因为肯定比7854小,对不对,然后统计这部分答案。如果我们枚举是7,那你后三位不能随便枚举,如果你第二位枚举9,那就超出范围了,为了避免超出范围,如果我们第一位枚举7,那我们就看第二位,第二位的上限是8,那我们就枚举 0 ~ 7 ,这样后两位就可以随便枚举,统计答案,然后我们第二位取上限8,再往后推一位。。。依次类推,终点就是我们推到7854,就是n本身(我们在推的过程中是加了判断条件,如果不满足条件就break,如果能推到最后,说明最终这个n也是满足条件的)。这样说不知道能不能理解

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 35; //位数int f[N][N];// f[a][b]表示从a个数中选b个数的方案数,即组合数int K, B; //K是能用的1的个数,B是B进制//求组合数:预处理
void init(){for(int i=0; i< N ;i ++)for(int j =0; j<= i ;j++)if(!j) f[i][j] =1;else f[i][j] =f[i-1][j] +f[i-1][j-1];
}//求区间[0,n]中的 “满足条件的数” 的个数//“满足条件的数”是指:一个数的B进制表示,其中有K位是1、其他位全是0
int dp(int n){if(n == 0) return 0; //如果上界n是0,直接就是0种vector<int> nums; //存放n在B进制下的每一位//把n在B进制下的每一位单独拿出来while(n) nums.push_back( n% B) , n/= B;int res = 0;//答案:[0,n]中共有多少个合法的数//last在数位dp中存的是:右边分支往下走的时候保存前面的信息 //遍历当前位的时候,记录之前那些位已经占用多少个1,那么当前还能用的1的个数就是K-lastint last = 0; //从最高位开始遍历每一位for(int i = nums.size()-1; i>= 0; i--){int x = nums[i]; //取当前位上的数if(x>0){ //只有x>0的时候才可以讨论左右分支//当前位填0,从剩下的所有位(共有i位)中选K-last个数。//对应于:左分支中0的情况,合法res += f[i][ K -last];//i个数中选K-last个数的组合数是多少,选出来这些位填1,其他位填0if(x > 1){//当前位填1,从剩下的所有位(共有i位)中选K-last-1个数。//对应于:左分支中填1的情况,合法if(K - last -1 >= 0) res += f[i][K -last -1];//i个数中选K-last-1个数填1的组合数是多少//对应于:左分支中其他情况(填大于1的数)和此时右分支的情况(右侧此时也>1),不合法!!!直接break。break;}//上面统计完了**左分支**的所有情况,和右分支大于1的情况,//这个else 是x==1,//对应于:右分支为1的情况,即限定值为1的情况,也就是左分支只能取0//此时的处理是,直接放到下一位来处理//只不过下一位可使用的1的个数会少1,体现在代码上是last+1else if(x==1)//相当于限定值为1 {last ++;//如果已经填的个数last > 需要填的个数K,不合法breakif(last > K) break;}}//上面处理完了这棵树的**所有**左分支,就剩下最后一种右分支的情况// 也就是遍历到最后1位,在vector中就是下标为0的地方:i==0;// 并且最后1位取0,才算作一种情况res++。因为最后1位不为0的话,已经被上面的ifelse处理了。if(i==0 && last == K) res++; }return res;
}int main(){init();int l,r;cin >>  l >> r >> K >>B;cout<< dp(r) - dp(l-1) <<endl;  
}

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