problem

hdu 3625

solution

之前考试有一道题：最多砸开 $k$ 扇门，采取最有操作，求把 $n$ 个门都打开的方案数。

本题稍稍多了一个不能砸开第一扇门的限制，以及求的是概率。

概率好说，可行方案数除以总方案数即可，总方案数显然是 $n$ 把钥匙随便放的全排列， $n!$ 。

先不考虑不能砸开第一扇门，即暴力开启最多 $k$ 扇门就能开启所有门。

注意到一扇门打开后只放着一把钥匙，如果不是暴力开启的门的钥匙，那么一定会开启另一扇门。

这可以对应到图上的一条边，而最后暴力开启门的钥匙就将这个形状连成一个环。

且环环之间相互独立。【只有一把钥匙一扇门】

这就相当于是将 $n$ 扇门划分成最多 $k$ 个圆排列的方案数。

熟悉的同学立马反应过来这就是第一类斯特林数的定义。

$s (n, k) = s (n - 1, k - 1) + s (n - 1, k) * (n - 1)$

$s(n−1,k−1)→ns(n-1,k-1)\rightarrow n$ 自己单独新增一个圆排列。

$s (n - 1, k) * (n - 1)$ 将 $n$ 放到前面 $k$ 个原排列中的某一个中去。

相当于是断开一条边， $u→v⇒u→n→vu\rightarrow v\Rightarrow u\rightarrow n\rightarrow v$ ， $n$ 放任意一个位置都对应着不同的圆排列，即不同的钥匙方案数。

一共可以放 $n - 1$ 个位置，方案数就要 $×(n−1)\times (n-1)$ 。

现在加上不能暴力打开第一扇门的限制。

这个限制其实就是限制不能让第一扇门单独成为一个大小为 $1$ 的圆排列。

如果是 $n$ 个划分成 $k$ 个圆排列，就得是 $s (n, k) - s (n - 1, k - 1)$ 。

求前缀和最后除以阶乘即是所求。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 25
#define int long long
int T, n, k;
int fac[maxn];
int dp[maxn][maxn];
signed main() {dp[0][0] = fac[0] = 1;for( int i = 1; i < maxn;i ++ )for( int j = 1; j < maxn;j ++ )dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] * ( i - 1 );for( int i = 1; i < maxn;i ++ ) fac[i] = fac[i - 1] * i;scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &k );int ans = 0;for( int i = 0; i <= k;i ++ ) ans += dp[n][i];for( int i = 0;i < k;i ++ ) ans -= dp[n - 1][i];printf( "%.4f\n", 1.0 * ans / fac[n] );}return 0;
}