problem

多组数据。

给定一个序列 $a$，你可以将它划分成任意多段，满足每一个段的 mex 相同。

求方案数，对 $10^9+7$ 取模。

$T\le 10,n\le 3e5$。

另有一组数据 $T=1,n=3e7$。

solution

observation ：最后合法划分方案的 mex 一定是相同的。

在考场上，没有必要去仔细证明，想想就是。出现过的数一定不可能成为 mex。

就从最小的 $0$ 考虑，当它出现时，必定会让最后答案的 mex $>0$，因为不管这个 $0$ 出现在哪里，那个段的 mex 都不能是 $0$。

令全局 $mex$ 为 $k$，则说明 $0\sim k-1$ 的数都存在于数列中而 $k$ 不存在。

假设最后每个区间的 $mex$ 均为 $x$

• 若 $x<k$，由于序列中为 $x$ 的数存在，$x$ 必定在其中一个区间中，与所有区间 $mex=x$ 矛盾。
• 若 $x>k$，由于不存在 $k$，显然不合法。

对于 $30\%$ 的数据 $n\le 100$，是属于基础暴力部分分的。

直接列 $d{p}_{i,j}:$ 到第 $i$ 个数划分了 $j$ 段的方案数。

枚举上一个数的划分点 $d{p}_{k-1,j-1}\to d{p}_{i,j}$。其中要满足 $[k,i]$ 一段的 mex 是与前一个相同的。

但是仔细想想，发现无非就是 $f_{k-1}\to f_i$，具体分了多少段其实并不需要记录，因为题目没有对段数进行限制。

这样就将第二维去掉了，时间复杂度就去了一个 $O(n)$。

问题就来到怎么处理一段区间内的 mex。这不禁让我想到了之前做过的一道题👉链接。

对 $0\sim n$ 建立权值线段树，对于每个 $i$，将 $a_i$ 对应线段树上叶子的权值置为 $i$。

从左往右做，每次直接查询 $[0,mex)$ 区间内的最小值，就是最大的小于 $i$ 的满足条件的 $k$。

你会马上反应过来，所有 $k^{\prime }\le k$ 的 $k^{\prime }$ 都满足这样的条件了，都会对 $d{p}_{i,j}$ 产生贡献。

每次，你可以线段树 $O(logn)$ 求出 $k$ 后再枚举 $k^{\prime }$，时间复杂度为 $O(Tn\log n+T{n}^2)$，针对 $50\%$ 的数据。

马上就知道，这是一个前缀和优化的过程。时间复杂度又可以将为 $O(Tn\log n)$，针对 $90\%$ 的数据。

所以这道题只要会求 mex 的那个线段树技巧，拿到 $90^{\prime }$ 的高分已经很不错了，近乎是将这道题 $AC$。

最后就是 $O(n)$ 的正解。

observation：对于同一个右端点，其左端点对应的 mex 是单调的。【上面已经有所体现，这里只是规范化的表达】

所以可以用双指针和桶维护区间内的 mex 是否是全局的 mex(k) 即可。【具体可看代码实现】

code(50’)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 3005
#define int long long
#define mod 1000000007
#define inf 0x7f7f7f7f
int T, n;
bool vis[maxn];
int a[maxn], f[maxn], t[maxn << 2];#define lson now << 1
#define rson now << 1 | 1
#define mid ( ( l + r ) >> 1 )void build( int now, int l, int r ) {t[now] = 0;if( l == r ) return;build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );
}void modify( int now, int l, int r, int pos, int k ) {if( l == r ) { t[now] = k; return; }if( pos <= mid ) modify( lson, l, mid, pos, k );else modify( rson, mid + 1, r, pos, k );t[now] = min( t[lson], t[rson] );
}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) {if( R < l or r < L ) return inf;if( L <= l and r <= R ) return t[now];return min( query( lson, l, mid, L, R ), query( rson, mid + 1, r, L, R ) );
}signed main() {freopen( "clods.in", "r", stdin );freopen( "clods.out", "w", stdout );scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {memset( f, 0, sizeof( f ) );memset( vis, 0, sizeof( vis ) );scanf( "%lld", &n ); int x;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] ), vis[a[i]] = 1;for( int i = 0;i <= n;i ++ ) if( ! vis[i] ) { x = i; break; }f[0] = 1;build( 1, 0, n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {modify( 1, 0, n, a[i], i );int k = query( 1, 0, n, 0, x - 1 );if( k == inf and x ) continue;if( k == inf ) k = i;for( int j = 0;j < k;j ++ ) f[i] = ( f[i] + f[j] ) % mod;}printf( "%lld\n", f[n] );}return 0;
}

code(90’)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 300005
#define int long long
#define mod 1000000007
#define inf 0x7f7f7f7f
int T, n;
bool vis[maxn];
int a[maxn], f[maxn], g[maxn], t[maxn << 2];#define lson now << 1
#define rson now << 1 | 1
#define mid ( ( l + r ) >> 1 )void build( int now, int l, int r ) {t[now] = 0;if( l == r ) return;build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );
}void modify( int now, int l, int r, int pos, int k ) {if( l == r ) { t[now] = k; return; }if( pos <= mid ) modify( lson, l, mid, pos, k );else modify( rson, mid + 1, r, pos, k );t[now] = min( t[lson], t[rson] );
}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) {if( R < l or r < L ) return inf;if( L <= l and r <= R ) return t[now];return min( query( lson, l, mid, L, R ), query( rson, mid + 1, r, L, R ) );
}const int Mxdt=100000; 
inline char gc(){static char buf[Mxdt],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Mxdt,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read(){int t=0,f=0;char v=gc();while(v<'0')f|=(v=='-'),v=gc();while(v>='0')t=(t<<3)+(t<<1)+v-48,v=gc();return f?-t:t;
}signed main() {freopen( "clods.in", "r", stdin );freopen( "clods.out", "w", stdout );T = read();while( T -- ) {memset( f, 0, sizeof( f ) );memset( vis, 0, sizeof( vis ) );n = read(); int x;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) a[i] = read(), vis[a[i]] = 1;for( int i = 0;i <= n;i ++ ) if( ! vis[i] ) { x = i; break; }g[0] = 1;build( 1, 0, n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {modify( 1, 0, n, a[i], i );int k = query( 1, 0, n, 0, x - 1 );if( k == inf and x ) continue;if( k == inf ) k = i;f[i] = g[k - 1];g[i] = ( g[i - 1] + f[i] ) % mod;}printf( "%lld\n", f[n] );}return 0;
}

code(100’)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define maxn 37000005
int n, T;
int a[maxn], f[maxn], vis[maxn];const int Mxdt=100000; 
inline char gc(){static char buf[Mxdt],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Mxdt,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read(){int t=0,f=0;char v=gc();while(v<'0')f|=(v=='-'),v=gc();while(v>='0')t=(t<<3)+(t<<1)+v-48,v=gc();return f?-t:t;
}int main() {freopen( "clods.in", "r", stdin );freopen( "clods.out", "w", stdout );T = read();while( T -- ) {n = read();if( n == 37000000 ) {int x = read(), y = read();for( int i = 2;i <= n;i ++ ) vis[a[i] = ( 1ll * a[i - 1] * x + y + i ) & 262143] = 1; }elsefor( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[a[i] = read()] = 1;int mex;for( int i = 0;i <= n;i ++ ) if( ! vis[i] ) { mex = i; break; }for( int i = 0;i <= n;i ++ ) vis[i] = f[i] = 0; int pos = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {vis[a[i]] ++;while( vis[pos] ) pos ++;if( pos >= mex ) { pos = i; break; }}int sum = 1, now = 1; -- vis[a[pos]];for( int i = pos;i <= n;i ++ ) {++ vis[a[i]];while( now < i and ( a[now] > mex or vis[a[now]] > 1 ) ) {sum = ( 1ll * sum + f[now] ) % mod;-- vis[a[now]];++ now;}f[i] = sum;}printf( "%d\n", f[n] );for( int i = 0;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;}return 0;
}