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problem

已知积性函数 $F(1)=1，F(p^k)=p^k+1$。（$p$为质数，$k\in Z^{+}$）
给定 $n$，求 ${\sum }_{i=1}^{n}F(i)$ 。
答案对 $998244353$ 取模。
input：6
output：31
100%数据：$n\le 10^{12}$。

solution

$$f(n)=\sum _{i\mid n}i[(i,\frac{n}{i})=1]$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{j\mid i}j[(j,\frac{i}{j})=1]=\sum _{i=1}^n\sum _{j|i}j\sum _{d\mid j\wedge d\mid \frac{i}{j}}\mu (d)$$

$d$ 既是 $j$ 的因数又是 $\frac{i}{j}$ 的因数，所以最大不会超过 $\sqrt{n}$。
$$\sum _{d=1}^{\sqrt{n}}\mu (d)\sum _{j=1}^{\frac{n}{d}}jd\sum _{i(jd)d\le n}=\sum _{d=1}^{\sqrt{n}}\mu (d)d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d^2}}\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d^{2}i}\rfloor }j$$
数论分块，${\sum }_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d^{2}i}\rfloor }j$ 就是等差数列计算。

积分时间复杂度为 $O(\sqrt{n}\log n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 1000005
#define mod 998244353
int prime[maxn], mu[maxn];
bool vis[maxn];
int cnt;void sieve( int n ) {mu[1] = 1;for( int i = 2;i <= n;i ++ ) {if( ! vis[i] ) prime[++ cnt] = i, mu[i] = -1;for( int j = 1;j <= cnt and i * prime[j] <= n;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1;if( i % prime[j] == 0 ) {mu[i * prime[j]] = 0;break;}else mu[i * prime[j]] = -mu[i];}}
}int calc( int x ) { return x * ( x + 1 ) / 2 % mod; }int solve( int n ) {int ans = 0;for( int l = 1, r;l <= n;l = r + 1 ) {r = n / ( n / l );( ans += ( r - l + 1 ) * calc( n / l ) % mod ) %= mod;}return ans;
}signed main() {int n;scanf( "%lld", &n );int m = sqrt( n );sieve( m );int ans = 0;for( int d = 1;d <= m;d ++ ) ( ans += mu[d] * d % mod * solve( n / d / d ) % mod ) %= mod;printf( "%lld\n", ( ans + mod ) % mod );return 0;
}