problem

luogu

给一个 $H\times W$ 的网格，每一步只能向右或向下走，给出一些坐标，这些坐标对应的位置不能经过，求从左上角 $(1,1)$ 走到右下角 $(H,W)$ 的方案数，答案对 $10^9+7$ 取模。

$1\le H,W\le 1e5,1\le n\le 3000$。

solution

设 $f(i,j):$ 在位置 $(i,j)$ 的方案数显然已经不行了。

关注到障碍物的数量非常少，考虑从障碍物的角度入手。

这种在网格图上只有右边和下边的走法抽象成数学模型就是组合数。

从 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 的方案数即为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_2-x_1+y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)$。

这种方案数包含所有经过不同的若干个障碍物的情况。

我们考虑容斥，至少经过 $0$ 个障碍物 $-$ 至少经过 $1$ 个障碍物 $+$ 至少经过两个障碍物 $\dots$。

这是普通的容斥，是总集合靠着子集加加减减来求得。

$S=A_1+(A_2-A_1\bigcap A_2)+(A_3-(A_1\bigcup A_2)\bigcap A_3)+...+(A_n-(A_1\bigcup \cdots \bigcup A_{n-1})\bigcap A_n)$

每次从剩余元素中，把属于 $A_i$ 的取走，直到取完总集合。

设 $f(i):$ 只经过第 $i$ 个障碍物的方案数。

将障碍物按 $x$ 坐标升序排列，相同则按 $y$ 升序。

把最后终点也当作障碍物即可。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200005
#define int long long 
#define mod 1000000007
int n, r, c;
int f[maxn], fac[maxn], inv[maxn];
struct node { int x, y; }p[maxn];
int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}
int C( int n, int m ) {return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}
void init( int n = 2e5 ) {fac[0] = inv[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;inv[n] = qkpow( fac[n], mod - 2 );for( int i = n - 1;i;i -- ) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &r, &c, &n ); init();for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d %d", &p[i].x, &p[i].y );p[++ n] = (node){ r, c };sort( p + 1, p + n + 1, []( node a, node b ){ return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x; } );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) f[i] = C( p[i].x + p[i].y - 2, p[i].x - 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = i + 1;j <= n;j ++ )if( p[i].y <= p[j].y )( f[j] -= f[i] * C(p[j].x - p[i].x + p[j].y - p[i].y, p[j].x - p[i].x) ) %= mod;printf( "%lld\n", (f[n] + mod) % mod );return 0;
}