problem

luogu-P5361

他的联系薄上有 $n$ 位好友，他们两两之间或者互相认识，或者互相不认识。

小 Q 希望在周六办一个热闹的聚会，再在周日办一个尴尬的聚会。

• 一场热闹度为 $p$ 的聚会请来了任意多位好友，对于每一位到场的好友来说都有至少 $p$ 位他认识的好友也参加了聚会，且至少对于一位到场的好友来说现场恰好有 $p$ 位他认识的好友；
• 一场尴尬度为 $q$ 的聚会请来了恰好 $q$ 位好友，且他们两两互不认识。

两场聚会可能有重复的参与者，联系薄上也有可能有某些好友同时缺席了两场聚会。

小 Q 喜欢周六聚会的热闹度 $p$ 与周日聚会的尴尬度 $q$ 之间满足：$\lfloor \frac{n}{p+1}\rfloor \le q$ 且 $\lfloor \frac{n}{q+1}\rfloor \le p$。

请帮助小 Q 找出一个可行的邀请方案。

solution

$\text{observation1}:$ $\lfloor \frac{n}{p+1}\rfloor \le q\wedge \lfloor \frac{n}{q+1}\rfloor \le p\iff (p+1)(q+1)\ge n+1$。

我们只需要分别最大化 $p,q$ 即可。

看似是两个独立的部分，实际上他们各自的构造方式是一样的原理。

• 热闹的聚会。即度数限制的图。

每次找出当前图中度数最小的点，更新 $p$ 的最大值。

并删掉这个点，动态地改变与之相连的其余点的度数。

将弹出的编号桉顺序记录下来，并记下最大值的位置。

位置以前的点则是不被选的。

• 尴尬的聚会。即独立集。

  每次找出当前图中度数最小的且未被标记的点，加入尴尬的聚会。

  然后标记与之直接相连的所有点都不能参加聚会。

下面给出该构造的正确性证明：

将每个点加入尴尬的聚会，除去这个点本身，最多会从图中删掉 $p$ 个点。显然 $q\ge \lceil \frac{n}{p+1}\rceil$。

如果独立集的选点运行了 $q$ 次，第 $i$ 次删掉的点度数为 $d_i$。

则有 ${\sum }_{i=1}^q(d_i+1)\ge n$。而 $(q+1)\cdot \max (d_i+1)\ge n$ 显然。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 10005
#define Pair pair < int, int >
int T, n, m;
int p[maxn], q[maxn], vis[maxn], deg[maxn], d[maxn];
vector < int > G[maxn];
priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > Q;int main() {scanf( "%d", &T );while( T -- ) {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) deg[i] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) G[i].clear();for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );deg[u] ++, deg[v] ++;}int ans1 = 0, cnt1 = 0, pos;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) d[i] = deg[i];for( int i = 1;i <= n;i ++ ) Q.push( make_pair( d[i], i ) );while( ! Q.empty() ) {int u = Q.top().second, w = Q.top().first; Q.pop();if( vis[u] ) continue; vis[u] = 1;p[++ cnt1] = u;if( w > ans1 ) ans1 = w, pos = cnt1;for( int v : G[u] ) if( ! vis[v] ) Q.push( make_pair( --d[v], v ) );}int ans2 = 0, cnt2 = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) d[i] = deg[i];for( int i = 1;i <= n;i ++ ) Q.push( make_pair( d[i], i ) );while( ! Q.empty() ) {int u = Q.top().second, w = Q.top().first; Q.pop();if( vis[u] ) continue;vis[u] = 1;q[++ cnt2] = u;for( int v : G[u] ) vis[v] = 1;}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;for( int i = 1;i <= pos;i ++ ) vis[p[i]] = 1;printf( "%d ", n - pos );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) if( ! vis[i] ) printf( "%d ", i );puts("");printf( "%d ", cnt2 );for( int i = 1;i <= cnt2;i ++ ) printf( "%d ", q[i] );puts("");}return 0;
}