点分治入门

点分治就是树上的分治，也就是处理把分治强行搬到树上的毒瘤问题。

算法流程

引入：[国家集训队]聪聪可可（各大OJ搜索即可）

题意：给一棵树，随机选两个点（可以相同），求距离为3的倍数的概率。

显然求长度是3的倍数的路径数即可。

首先是分治，那我们考虑一个子问题，即一棵树。

然而树上没有中点。如果直接分，给条链就挂了。

所以我们yy一个中点：重心

重心定义是以它为根的子树size的最大值最小。

因为是树，所以至少有两个子树。又是均分的，可以保证log

我们先找出重心，然后乱搞求过重心的路径数。

然后递归就可以解决。

实现

口胡和实现难度差别最大的算法。

首先需要一个findroot来找重心。

开一个cut数组记录被砍掉的节点，相当于移出游戏。

用solve控制流程。进入solve后，马上砍掉root

然后马上用calc计算当前子问题。

calc中用dfs处理子树信息并顺便求出大小，然后整合答案并更新。注意清零。

此过程中一定不要吝啬空间，可以重新开个数组记录修改的地方，算完后再依次还原。最好开临时数组记录当前子树并和之前统计答案，算完后合并。千万不要memset，用for也要仔细算复杂度。

当然本题很友好，只有三个变量。

回到solve，用dfs中求出的大小找子树中的重心并递归。

代码

风格可能和大众不同，仅供参考

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 20005
#define MAXM 40005
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
int n;
struct edge
{int u,v,w;
}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
void addnode(int u,int v,int w)
{e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
bool cut[MAXN];
int ans;
int root,siz[MAXN],maxp[MAXN];
void findroot(int u,int f,int sum)
{siz[u]=1,maxp[u]=0;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f&&!cut[e[i].v]){findroot(e[i].v,u,sum);siz[u]+=siz[e[i].v];maxp[u]=max(maxp[u],siz[e[i].v]);}if (sum-siz[u]>maxp[u]) maxp[u]=sum-siz[u];if (maxp[u]<maxp[root]) root=u;
}
int tot[3],tt[3];
int dfs(int u,int f,int s)
{int ans=1;++tt[s];for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f&&!cut[e[i].v])ans+=dfs(e[i].v,u,(s+e[i].w)%3);return ans;
}
int sum[MAXN];
void calc()
{tot[0]=1,tot[1]=tot[2]=0;for (int i=head[root];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]){tt[0]=tt[1]=tt[2]=0;sum[e[i].v]=dfs(e[i].v,0,e[i].w);ans+=tot[0]*tt[0]+tot[1]*tt[2]+tot[2]*tt[1];tot[0]+=tt[0],tot[1]+=tt[1],tot[2]+=tt[2];}
}
void solve()
{cut[root]=1;calc();for (int i=head[root];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]){maxp[root=0]=INF;findroot(e[i].v,0,sum[e[i].v]);solve();}
}
int gcd(const int& a,const int& b){return b? gcd(b,a%b):a;}
void print(int a,int b)
{int g=gcd(a,b);a/=g,b/=g;printf("%d/%d",a,b);
}
int main()
{n=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v,w;u=read(),v=read(),w=read()%3;addnode(u,v,w),addnode(v,u,w);}maxp[0]=INF;findroot(1,0,n);solve();print(2*ans+n,n*n);return 0;
}

[IOI2011]Race

题意：给定一棵树和k，求长为k的路径中最小的边数。 $\leq 1000000$

其它一样，主要是calc

开个1e6的数组dis记录长为i的路径最小边数

用tdis记录当前子树，dfs时更新

用q和tq记录dis和tdis修改的下标，算完后还原成INF

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 200005
#define MAXM 400005
#define MAXV 1000005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
inline int read()
{int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans;
}
int n,k;
struct edge{int u,v,w;}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
void addnode(int u,int v,int w)
{e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
bool cut[MAXN];
int root;
int siz[MAXN],maxp[MAXN];
void findroot(int u,int f,int s)
{siz[u]=1,maxp[u]=0;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]&&e[i].v!=f){findroot(e[i].v,u,s);siz[u]+=siz[e[i].v];maxp[u]=max(maxp[u],siz[e[i].v]);}if (s-siz[u]>maxp[u]) maxp[u]=s-siz[u];if (maxp[u]<maxp[root]) root=u;
}
int dis[MAXV],tdis[MAXV],sum[MAXN];
int q[MAXN],top,tq[MAXN],tt;
int dfs(int u,int f,int s,int d)
{int ans=1;if (s<=k) tdis[tq[++tt]=s]=min(tdis[s],d);for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]&&e[i].v!=f)ans+=dfs(e[i].v,u,s+e[i].w,d+1);return ans;
}
int ans=INF;
void calc()
{dis[0]=top=0;for (int i=head[root];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]){tt=0;sum[e[i].v]=dfs(e[i].v,0,e[i].w,1);for (int i=1;i<=tt;i++)	ans=min(ans,tdis[tq[i]]+dis[k-tq[i]]);for (int i=1;i<=tt;i++) dis[tq[i]]=min(dis[tq[i]],tdis[tq[i]]),q[++top]=tq[i];for (int i=1;i<=tt;i++) tdis[tq[i]]=INF;	}for (int i=1;i<=top;i++) dis[q[i]]=INF;
}
void solve()
{cut[root]=true;calc();for (int i=head[root];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]){maxp[root=0]=INF;findroot(e[i].v,0,sum[e[i].v]);solve();}
}
int main()
{n=read(),k=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v,w;u=read()+1,v=read()+1,w=read();addnode(u,v,w),addnode(v,u,w);}maxp[root=0]=INF;findroot(1,0,n);memset(dis,0x3f,sizeof(dis)+sizeof(tdis));solve();printf("%d\n",(ans==INF? -1:ans));return 0;
}