写在前面

$manacher$比想象中好理解得多

至少它给了我学习字符串的信心

能干啥

$manacher$，中文马拉车（您别说，这名字还挺形象），主要用于计算字符串每一个位置为对称中心的回文串长度（等价于个数）

包括偶回文，即长度为偶数的回文串

算法流程

考虑下面的问题：给一个字符串，求最长回文子串

我会暴力！

枚举判断$O(n^3)$

我会优化！

考虑到以$c$为中心，$acb$不是回文串，左右怎么接都不是回文串

所以可以枚举中间点（偶回文判断一下即可），然后向两边拓展

复杂度$O(n^2)$

我会玄学！

$O(n^2)$还不够 不符合字符串算法均为线性复杂度公理

在此基础上继续优化

我们记录$maxr$为目前找到的回文串右端点的最右的位置 $pos$为这个回文串的对称中心

开一个数组$p_i$表示回文半径（和其他文章不同，本文回文半径指一个端点到中心的距离，即直接相减）

回文串最本质的特征是什么？左右关于中心对称。

如果一个回文串对称中心的一侧有另一个回文子串，那么对称过去也有一个相同长度的回文子串

黄色部分完全一致，这就是manacher的核心

（先不考虑偶回文）

① $i<maxr$(取不取等于无所谓)

设$j,i$关于$pos$对称 即$j=pos\ast 2-i$

根据上面的推导，令$p_i=p_j$即可

当然如果$j$为中心的最长回文左端点越界了

那就不能保证上面的性质（实际上可以保证不成立），所以要和$j-maxl$(即$maxr-i$)取$min$。

$j$越界时还需要让$i$继续拓展。当然为了刷短代码减少讨论，都拓展一下好了

②$i\ge maxr$

啥都不能保证，直接暴力扩展

综上：

1. 如果$i<maxr$,按上述条件更新$p_i$
2. 暴力拓展
3. 更新$maxr$和$pos$

然后……对，没了，就三行。

这就是$manacher$的全过程，复杂度$O(n)$，后面有证明

实现

上面没有讨论偶回文，主要是转化过程比较难看，容易使人丧失信心。

其实也不难。只需要在字符两两之间加一个字符,如‘#’；然后首尾也加上‘#’，再在开头加一个标识符防止越界。注意要和之前的不同，如‘@’

这样偶回文可以看做中心是‘#’的回文

普及T1模拟水平

这样处理后，所有回文串左右端点都是‘#’，然后就可以跑了

证明

什么？不是只改了一个地方吗？怎么变$O(n)$了？

回顾整个流程，真正暴力拓展的时候要么$j$左端点越界，要么$i$越界($j$左端点没越界时，根据反证法，$i$实际上无法拓展)

$j$左端点越界时，$i$右端点出生点就在$maxr$，再拓展就超出去了

也就是说，每次暴力拓展，都意味着$maxr$更新，而$maxr$只会往右跑

换一个角度，实际上暴力拓展是把$maxr$推到最右边，次数是$O(n)$的

所以总复杂度是$O(n)$的

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
char s[MAXN],ss[MAXN];
int pos,maxr;
int p[MAXN];
int main()
{scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);for (int i=1;i<=n;i++) ss[i<<1]=s[i],ss[(i<<1)|1]='#';n=(n<<1)|1,ss[0]='@',ss[1]='#';strcpy(s,ss);for (int i=1;i<=n;i++){if (i<maxr)	p[i]=min(p[(pos<<1)-i],maxr-i);while (s[i-p[i]-1]==s[i+p[i]+1]) ++p[i];if (i+p[i]>maxr) maxr=i+p[i],pos=i;}return 0;
}

由于所有位置为中心的最长回文串左右端点都是‘#’

回文串长度$le{n}_i=\frac{2p_i+1-1}{2}=p_i$

然后用来搞事情就可以了