之前的后缀平衡树其实没完，只是过于鬼畜就弃了

传送门

题意：带修改点权的最大独立集

$N\le 1e5$

一个没啥用的模板，不过适合练习LCT

先写出方程

f(u,0)=∑v∈son(u)max{f(v,0),f(v,1)}f(u,0)=\sum_{v \in son(u)}max\{f(v,0),f(v,1)\}f(u,0)=v∈son(u)∑​max{f(v,0),f(v,1)}

$$f(u,1)=val(u)+\sum _{v\in son(u)}f(v,0)$$

首先一个显然的想法，每次修改暴力跳父亲，显然会T而且实测这玩意极易写挂

但是我们发现直接跳父亲到根的这段信息就浪费了

然而这段信息极其玄学，并不能写出来，遇到这种考虑矩阵乘法

因为这是棵树，结构是很难确定的，写不出转移矩阵。

所以考虑剖一下

这里采用LCT维护子树

对于每个节点$u$,维护子树$g(u,0/1)$

g(u,0)=∑v∈virson(u)max{f(v,0),f(v,1)}g(u,0)=\sum_{v\in virson(u)}max\{f(v,0),f(v,1)\}g(u,0)=v∈virson(u)∑​max{f(v,0),f(v,1)}

$$g(u,1)=val(u)+\sum _{v\in virson(u)}f(v,0)$$

($virson$表示虚儿子)

可以理解为只考虑虚节点的$f$

由于这个只有求和，所以可以在切换的时候顺便改一下,然后就可以当常数用

这样可以把状态转移方程写到链上

设$v$是$u$的重儿子

f(u,0)=max{f(v,0),f(v,1)}+g(u,0)f(u,0)=max\{f(v,0),f(v,1)\}+g(u,0)f(u,0)=max{f(v,0),f(v,1)}+g(u,0)

$$f(u,1)=f(v,0)+g(u,1)$$

上面那个改一下

f(u,0)=max{f(v,0)+g(u,0),f(v,1)+g(u,0)}f(u,0)=max\{f(v,0)+g(u,0),f(v,1)+g(u,0)\}f(u,0)=max{f(v,0)+g(u,0),f(v,1)+g(u,0)}

$$f(u,1)=f(v,0)+g(u,1)$$

上矩阵了

当然要扩展下定义，$A\ast B=C$定义为

Ci,j=max⁡k{Ai,k+Bk,j}C_{i,j}=\max_k\{A_{i,k}+B_{k,j}\}Ci,j​=kmax​{Ai,k​+Bk,j​}

然后

$$\left[\begin{array}{c}f(u,0),f(u,1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f(v,0),f(v,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}g(u,0),g(u,1)\\ g(u,0),-\infty \end{array}\right]$$

单位矩阵

$$\left[\begin{array}{c}0,-\infty \\ -\infty ,0\end{array}\right]$$

注意因为一些奇怪的原因，上面那个拆开是倒着的，所以update要倒着写

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 100005
#define MAXM 200005
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct edge{int u,v;}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
void addnode(int u,int v)
{e[++cnt]=(edge){u,v};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
struct mat
{int e[2][2];mat(){for (int i=0;i<2;i++)for (int j=0;j<2;j++)e[i][j]=-INF;}inline int max(){return std::max(e[0][0],e[0][1]);}inline int* operator [](int i){return e[i];}
};
inline mat operator *(mat a,mat b)
{mat ans;ans[0][0]=ans[0][1]=ans[1][0]=ans[1][1]=0;for (int i=0;i<2;i++)for (int j=0;j<2;j++)for (int k=0;k<2;k++)ans[i][j]=max(ans[i][j],a[i][k]+b[k][j]);return ans;
}
int val[MAXN];
mat dp[MAXN],trans[MAXN];
int ch[MAXN][2],fa[MAXN];
inline void update(int x){dp[x]=dp[ch[x][1]]*trans[x]*dp[ch[x][0]];}
inline bool isroot(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
inline int get(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
void rotate(int x)
{int y=fa[x],z=fa[y];int l=get(x),r=l^1;int w=ch[x][r];if (!isroot(y)) ch[z][get(y)]=x;ch[x][r]=y;ch[y][l]=w;if (w) fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;update(y);update(x);
}
void splay(int x)
{while (!isroot(x)){int y=fa[x];if (!isroot(y)){if (get(x)==get(y)) rotate(y);else rotate(x);}rotate(x);}
}
inline void access(int x)
{for (int y=0;x;y=x,x=fa[x]){splay(x);trans[x][0][0]=(trans[x][1][0]+=dp[ch[x][1]].max());trans[x][0][1]+=dp[ch[x][1]][0][0];trans[x][0][0]=(trans[x][1][0]-=dp[y].max());trans[x][0][1]-=dp[y][0][0];		ch[x][1]=y;update(x);}
}
void dfs(int u,int f)
{fa[u]=f;int g[2]={0,val[u]};for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f){dfs(e[i].v,u);g[0]+=dp[e[i].v].max();g[1]+=dp[e[i].v][0][0];}	trans[u][0][0]=trans[u][1][0]=g[0];trans[u][0][1]=g[1];dp[u]=trans[u];
}
int main()
{dp[0][0][0]=dp[0][1][1]=0;int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);for (int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);addnode(u,v);addnode(v,u);}dfs(1,0);cerr<<dp[1].max()<<'\n';while (m--){int x,v;scanf("%d%d",&x,&v);access(x);splay(x);trans[x][0][1]-=val[x];trans[x][0][1]+=(val[x]=v);update(x);splay(1);printf("%d\n",dp[1].max());}return 0;
}