扯淡

min_25筛是由min_25提出的求积性函数前缀和的亚线性算法，和一个叫“扩展埃氏筛”的东西有着微妙的关系。

至于是什么关系，我也不太清楚，反正有人说很像有人说就是一个东西（雾）

这段话并不是废话

约定

为了方便后面描述，这里写一些用到的约定和符号表示，以免产生恐惧

$1$被开除正整数籍 也就是说“前缀和”之类的都是从$2$开始，对答案所求的前缀和同样，最后手动加$1$

$\pi (n)$表示$1\sim n$中质数个数的规模（其实问题不大，后面就懂了）

$p_i$表示第$i$个质数，单独的$p$均表示质数

$prime$表示质数集合 $minp(i)$表示$i$的最小质因子

$p^c$表示一个只含一个质因子的数

流程

首先所求的函数$f(n)$需要满足：

1. 是个积性函数
2. 在质数处的取值$f(p)$是一个关于$p$的多项式。我们把这个多项式拆成若干单项式分别计算在相加，这样就变成了"$f(p)$的值是一个关于$p$的单项式"，我们记为$f(p)=p^k$
3. $f(p^c)$的值可以快速计算

首先考虑计算这个东西

$$\sum _{i=2}^n[i\in prime]i^k$$

注意是$i^k$不是$f(i)$，虽然这里还没有区别，但它们只是质数位置相等

首先既然叫扩展埃氏筛先回忆一下埃氏筛在干什么：开始写下所有正整数，然后从小到大，如果一个没被筛说明它是质数，用它筛掉后面的倍数

我们可以用这个思路计算上面的式子，先算出所有的和，再用质数筛掉所有合数项

设$g(n,j)$表示用前$j$个质数筛了之后剩余项的和

$$g(n,j)=\sum _{i=2}^n[i\in primeorminp(i)>p_j]i^k$$

和就是$g(n,\pi (\sqrt{n}))$

注意合数的最小质因子不会超过$\sqrt{n}$,所以如果$p_j^2>n$有$g(n,j)=g(n,j-1)$

对剩下情况考虑转移，即从$g(n,j-1)$去掉被$p_j$删掉的项

$$g(n,j-1)=\sum _{i=2}^n[i\in primeorminp(i)\ge p_j]$$

如果脑子转不过来，可以强行算

$[i\in primeorminp(i)\ge p_j]$且不满足$[i\in primeorminp(i)>p_j]$
即
$[i\in primeorminp(i)\ge p_j]$且$[i\notin prime]且[minp(i)\le p_j]$
综上
$[i\notin prime,minp(i)=p_j]$

所以

$$g(n,j)=g(n,j-1)-\sum _{i=2}^n[i\notin prime,minp(i)=p_j]i^k$$

可以提一个$p_j$出来,因为不能有质数，就把$p_j$去掉，刚好是$1$

$$g(n,j)=g(n,j-1)-p_j^k\sum _{i=2}^{\lfloor \frac{n}{p_j}\rfloor }[minp(i)\ge p_j]i^k$$

再次观察

$$g(n,j)=\sum _{i=2}^n[i\in primeorminp(i)>p_j]i^k$$

发现可以拆成小于$p_j$的质数和大于等于$p_j$的所有数，第二个就是刚才的式子

$$g(n,j)=g(n,j-1)-p_j^k(g(\lfloor \frac{n}{p_j}\rfloor ,j-1)-\sum _{i=1}^{j-1}{p}_i^k)$$

注意$n$由于都是一直整除，所以只会有$O(\sqrt{n})$种取值，可以整除分块找出来强行离散化。在记录某个值$v$所在位置的时候，如果$v>\sqrt{n}$,我们另开一个数组存到$\lfloor \frac{n}{v}\rfloor$里面

然后后面只会用到最后一项，所以第二维可以滚掉

求答案时，设

$$S(n,j)=\sum _{i=2}^n[minp(i)>p_j]f(i)$$

分质数和合数分别计算

质数部分用$g$算出来的减去前$j$个

$$g(n,\pi (\sqrt{n}))-\sum _{i=1}^j{p}_i^k$$

合数部分枚举最小质因子和它的次数

$$\sum _{k=j+1}^{p_k\le \sqrt{n}}\sum _{e=1}^{p_k^e\le n}f(p_k^e)(S(\lfloor \frac{n}{p_k^e}\rfloor ,k)+[e>1])$$

$[e>1]$指如果指数大于$1$它本身就是合数，需要统计答案

两部分相加即可

总复杂度大概$O(n^{\frac{2}{3}})$常数较小，大约$2s$过$1e10$,$3s$过$1e11$

模板题

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>#define MAXN 200005
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7,INV6=(MOD+1)/6;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
int np[MAXN],pl[MAXN],cnt;
inline void init(const int& N)
{np[1]=1;for (int i=2;i<=N;i++){if (!np[i]) pl[++cnt]=i;int x;for (int j=1;(x=i*pl[j])<=N;j++){np[x]=1;if (i%pl[j]==0) break;}}
}
ll val[MAXN];
int tot;
int g1[MAXN],g2[MAXN],sum1[MAXN],sum2[MAXN];
int key[MAXN],yek[MAXN];
ll n;
int m;
inline int getkey(const ll& v){return v<=m? key[v]:yek[n/v];}
int S(ll n,int j)
{if (pl[j]>=n) return 0;int k=getkey(n);int ans=dec(dec(g2[k],g1[k]),dec(sum2[j],sum1[j]));for (int k=j+1;k<=cnt&&(ll)pl[k]*pl[k]<=n;k++)for (ll e=1,pe=pl[k];pe<=n;e++,pe*=pl[k])ans=add(ans,pe%MOD*(pe%MOD-1)%MOD*(S(n/pe,k)+(e>1))%MOD);				return ans;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);m=sqrt(n);init(m);for (ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);val[++tot]=n/l;int t=val[tot]%MOD;g1[tot]=((ll)t*(t+1)/2)%MOD-1;g2[tot]=(ll)t*(t+1)%MOD*(2*t+1)%MOD*INV6%MOD-1;if (val[tot]<=m) key[val[tot]]=tot;else yek[n/(n/l)]=tot;}for (int j=1;j<=cnt;j++){for (int i=1;i<=tot&&(ll)pl[j]*pl[j]<=val[i];i++){int k=getkey(val[i]/pl[j]);g1[i]=dec(g1[i],(ll)pl[j]*dec(g1[k],sum1[j-1])%MOD);g2[i]=dec(g2[i],(ll)pl[j]*pl[j]%MOD*dec(g2[k],sum2[j-1])%MOD);}		sum1[j]=add(sum1[j-1],pl[j]),sum2[j]=add(sum2[j-1],(ll)pl[j]*pl[j]%MOD);}printf("%d\n",S(n,0)+1);return 0;
}