【NOIP2017】逛公园【最短路DAG】【dp】【拓扑排序】

题意：给一张帯权有向图，求 $1$ 到 $n$ 长度不超过最短路长度 $+ k$ 的路径条数模 $P$ 。有无数条输出 $- 1$ 。

$n≤105,m≤2×105,k≤50n\leq 10^5,m\leq 2\times 10^5,k\leq 50$ ，边权非负

先往最短路图想

发现 $k$ 很小，考虑硬上 dp。

设 $f (u, k)$ 表示从 $u$ 到 $n$ 多走 $k$ 的路径数。

转移枚举下一步往哪里走。

$f(u,k)=∑(u,v)∈Ef(v,k−(w(u,v)+disu−disv))f(u,k)=\sum_{(u,v)\in E}f(v,k-(w(u,v)+dis_u-dis_v))$

其中 $dis_u$ 为 $1$ 到 $u$ 最短路长度。

在没有零边的基础上，右边这块 $w(u,v)+dis_u-dis_v$ 取 $0$ 当且仅当 $(u, v)$ 在最短路图上。因为这是个 DAG，所以在最短路图上跑拓扑排序，然后枚举 $k$ 更新就可以了。这样可以拿到 $70$ 分的好成绩。

有零边时可能会出现 $dis_n+k$ 内可达的零环，这样答案为无穷大。如果拓扑排序后点 $i$ 入度不为 $0$ 说明在零环上，此时如果 $disi+disi′≤disn+kdis_i+dis'_i \leq dis_n+k$ 就输出 $- 1$ 。（ $d i s^{'}$ 为到 $n$ 的最短距离）

否则的话反正都走不到这里，直接把伪的拓扑序继续往后做。

复杂度 $O(nlog⁡n+nk)O(n\log n+nk)$

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#include <algorithm>
#include <utility>
#include <queue>
#define MAXN 100005
#define MAXM 200005
using namespace std;
int n,m,k,P;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=P? x+y-P:x+y;}
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
struct edge{int u,v,w;}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
inline void addnode(int u,int v,int w)
{e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
template<typename T,typename cmp=less<T> >
struct heap
{T val[MAXM];T* end;heap(){end=val;}inline bool empty(){return end==val;}inline void push(const T& v){*(end++)=v;push_heap(val,end,cmp());}inline T pop(){pop_heap(val,end,cmp());return *(--end);}	
};
typedef pair<int,int> pi;
heap<pi,greater<pi> > q;
int dis[MAXN],disn[MAXN],deg[MAXN];
inline void dij(int* dis,int s=1)
{memset(dis,0x3f,sizeof(disn));dis[s]=0;q.push(make_pair(0,s));while (!q.empty()){int u=q.pop().second;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (dis[u]+e[i].w<dis[e[i].v])dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w,q.push(make_pair(dis[e[i].v],e[i].v));}
}
int lis[MAXN],vis[MAXN],tim;
void dfs(int u)
{vis[u]=1;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (dis[u]+e[i].w==dis[e[i].v]){++deg[e[i].v];if (!vis[e[i].v]) dfs(e[i].v);}
}
inline void topsort()
{queue<int> q;tim=0;q.push(1);while (!q.empty()){int u=q.front();q.pop();lis[++tim]=u;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (dis[u]+e[i].w==dis[e[i].v]&&(--deg[e[i].v]==0))q.push(e[i].v);}
}
int f[55][MAXN],u[MAXM],v[MAXM],w[MAXM];
int main()
{for (int T=read();T;T--){cnt=tim=0;memset(head,0,sizeof(head));memset(nxt,0,sizeof(nxt));memset(deg,0,sizeof(deg));memset(vis,0,sizeof(vis));n=read(),m=read(),k=read(),P=read();for (int i=1;i<=m;i++) u[i]=read(),v[i]=read(),w[i]=read(),addnode(v[i],u[i],w[i]);dij(disn,n);cnt=0;memset(head,0,sizeof(head));memset(nxt,0,sizeof(nxt));		for (int i=1;i<=m;i++) addnode(u[i],v[i],w[i]);dij(dis);dfs(1);topsort();int ans=0;for (int i=1;i<=n;i++) if (deg[i]&&dis[i]+disn[i]<=dis[n]+k) {puts("-1");goto end;}memset(f,0,sizeof(f));f[0][n]=1;for (int t=0;t<=k;t++)for (int x=tim;x>=1;x--){int u=lis[x];for (int i=head[u];i;i=nxt[i]){int del=e[i].w-dis[e[i].v]+dis[u];if (t>=del) f[t][u]=add(f[t][u],f[t-del][e[i].v]);}}for (int i=0;i<=k;i++) ans=add(ans,f[i][1]);printf("%d\n",ans);end:;}return 0;
}