[2021.1.27多校省选模拟10]染色

突然发现我对概率期望的理解不是很好。。。

部分分1：可以直接进行状压dp，然后按照题意模拟即可。

部分分2：首先可以发现这个问题是min_max容斥形式，然后对于min(T)的问题，我们将问题转化为有p的概率获得某个物品，然后问第一次获得物品的时间期望。但是我考场上推导的等比数列是错误的，主要是因为没有处理选择的那一次贡献，这样就会少加1.

然后我想到一个比较好理解的模型，就是考虑一个宽度为1的矩形，然后每次一定比例p是选择，1-p的比例是不选择，然后不选择的这一段会在下一天继续分割。这样相当于我们要求解的就是这些东西的总面积。
具体证明方法：

1. 根据递归式列出方程证明S=(p-1)S+1
2. 利用等比数列求和证明 求解${\sum }_{i=1}^{\infty }P\ast (1-P{)}^i\ast i$
3. 感性认为每一天期望获得p个物品，那么总天数就是用1来除，但是实际上不能算是证明

具体求解方法，现在我们得到了这个式子和没有包含T中点的区间个数有关，并且这个东西在分母上没法快速求和，所以我们考虑dp，统计区间个数一定的T集合个数，这显然是一个线性dp了，那么我们可以考虑$d{p}_{i,j}$表示前i个中有j个区间的方案数。

部分分3：
kth min-max容斥本质上就是需要一个容斥系数$f(x)$使得对于每一项的贡献可以通过加和然后抵消，然后正好这个式子是可以二项式反演推导出$f(x)$的具体值的，这样就可以推导出真正的容斥系数，这个寻找容斥系数的思路很巧妙。

https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81416333

然后所以现在我们不仅需要知道区间个数，还要求出集合大小所以将dp修改一下就可以得到方案数了。