P2303 [SDOI2012] Longge

一道看似非常基础的数论题，但是蕴含了非常多的知识，求解
$$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)$$
这个东西我们轻松地就能化简成$id\ast \phi$的形式，然后考虑如何快速求解，那么可以枚举n的所有因数然后对因数$O(\sqrt{n})$求解$\phi (n)$然后考虑这样子的复杂度和因数个数有关，那么有这样一个表告诉我们因数个数是很少的，所以这道题的复杂度是正确的。

然后进一步优化复杂度的思路就是将$\phi$展开
$$\begin{gathered} \sum _{d|n}\phi (d)\frac{n}{d}=\sum _{d|n}d(\prod _{x|d}\frac{x-1}{x})\frac{n}{d} \\ =n\prod (1+p_i\frac{a_i-1}{a_i}) \\ =n\prod \frac{p_i{a}_i-p_i+a_i}{a_i} \end{gathered}$$
这样我们就可以$O(\sqrt{n})$解决这个问题了