新方法-根据上排给出十个数,在其下排填出对应的十个数

给你10分钟时间,根据上排给出十个数,在其下排填出对应的十个数   
要求下排每个数都是先前上排那十个数在下排出现的次数。   
上排的十个数如下:   
【0,1,2,3,4,5,6,7,8,9】

举一个例子,   
数值: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   
分配: 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0   
0在下排出现了6次,1在下排出现了2次,   
2在下排出现了1次,3在下排出现了0次....   
以此类推..   


我想的办法是,肯定不能全局遍历,但可以局部遍历,比如以0的个数先进行分类。

当0的个数小于并不包含5的时候,我们可以想象,数组b中所有元素的和的最小值是多少。

情况1:将这4个0分配给6,7,8,9,(或者是当数组a不连续的时候的最大的四个数,且b(4)=1,这里还剩下数组a中值为0,1,2,3,5的几个数字,根据

求和(a[i]*b[i])=10以及求和(b[i])=10,遍历9个相同球放进5个盒子并且没有空盒子的可能(40种),发现b数组的总和肯定大于10,所以不能实现。其实b[0]=0可以肯定,但这种情况下我们只依据数组b元素的和的可能值来评判。

情况2:当0的个数等于5的时候,b[5]=1,b[0]=5,剩余8个元素,有5个0,3个不等于0,且其和是4,遍历这168种可能。

情况3:当0的个数等于6的时候,b[0]=6,b[6]=1,剩余8个元素,有6个0,2个不等于0,且其和为3,遍历这56种可能。

情况4:当0的个数等于7的时候,b[0]=7,b[7]=1,剩余8个元素,有7个0,1个不等于0,且其和为2,遍历这8种可能。如此可解。




网上千篇一律的办法是:

给你10分钟时间,根据上排给出十个数,在其下排填出对应的十个数   
要求下排每个数都是先前上排那十个数在下排出现的次数。   
上排的十个数如下:   
【0,1,2,3,4,5,6,7,8,9】

举一个例子,   
数值: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   
分配: 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0   
0在下排出现了6次,1在下排出现了2次,   
2在下排出现了1次,3在下排出现了0次....   
以此类推..   

 

解题思路:关键是理解“要求下排每个数都是先前上排那十个数在下排出现的次数”。

做以下分析:设总共有n个数,上排a[0...n-1],下排b[0...n-1],。

1)下排n个数的累加和为n,即b[0]+b[1]+...+b[n-1] = n

2)ai*bi的累加和也为n,即a[0]*b[0]+a[1]*b[1]+...+a[n-1]*b[n-1] = n

3)对于b中任意一个元素b[j], 都存在i,a[i] = b[j].

4)对于b中任意一个元素b[j],都有b[j] >= 0

5)如果a中存在负数。其在b中出现的次数一定为0. 如果a中数值大于n,则其出现次数也为0.

6)a中至少有两个非0数值在b中出现的次数非0

 

a:由1)n > n*b[i],其中b[i]为最小值,则a b中一定均有数值0,否则无解。设a[0] = 0,b[0]为a[0]在b中出现次数。

b:由于b中一定存在0,则0的出现次数一定大于0,因此b[0]>0 且b[0] < n,b[1...n-1]中至少一个值为0. 非0元素出现的次数一共是n-b[0].

c:有2)和6)对任意a[i],a[i]*b[i] < n,即b[i] < n/a[i],对所有a[i]>=n/2的元素中,在b中出现的次数必须最多只有1个出现次数不为0,且为1.其余出现次数均为0,即[1, n/2)范围内最多只有n/2-1个元素,故0出现的次数必不小于n/2, [n/2,n)范围内的元素必有一个出现次数为1。因此a数列中也必须有1,否则无解。

d:有c得在数值范围为(0,n/2)中(假设有x这样的数)出现的次数和s为n - b[0]或n-b[0]-1。其中1出现的次数至少为1(由c得)。又如果1出现的次数为1,则1出现的次数已经为2,故1出现的次数必大于1.设为x,则x出现的次数至少为1,而x>1,如果x出现的次数大于1,那么必须要有其他数出现的次数为x,这样无法收敛。故x出现的次数只能为1,1出现的次数只能为2.

 另外:(感谢coolria提出)如果上排数列中无0,则下排数列全是0,是其唯一解。

结论:

1)如果上排数列中有0,此时如果上排数列中无0,1,2,n-4这四个数,则下排数列无解;否则下排数列中0出现的次数为n-4;1出现的次数为2;2出现的次数为1;n-4出现的次数为1;其余为0。

2)如果上排数列中无0,则下排数列全0,是其唯一解。



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