2018 蓝桥杯省赛 A 组模拟赛（一）数列求值+推导

题目：

对于一个含有 n+2个元素的数列， $A_{0}、A_{1}、……、A_{n+1}$ ，满足这样的递归公式
$Ai=Ai−1+Ai+12−CiA_{i}=\frac{A_{i-1}+A_{i+1}}{2}-C_{i}$
现在我们知道 $A_{0}、A_{n+1}$ 和 $C_{1}、C_{2}、……、C_{n}$
现在请你帮忙计算 $A_{1}$ 的值。

输入格式

第一行输入一个整数 n( $\leq n \leq 1000$ )。

第二行输入两个数 $A_{0}、A_{n+1}$ ，接着是 n 个数据分别是 $C_{1}、C_{2}、……、C_{n}$ 。所有的数据均是两位小数的浮点数。

输出格式

输出 $A_{1}$ 的值，结果保留两位小数。

样例输入1

1
50.50 25.50
10.15

样例输出1

27.85

样例输入2

2
-756.89 52.52
172.22 67.17

样例输出2

-761.49

分析：

由递推公式： $Ai=Ai−1+Ai+12−CiA_{i}=\frac{A_{i-1}+A_{i+1}}{2}-C_{i}$
$A1=A0+A22−C1A_{1}=\frac{A_{0}+A_{2}}{2}-C_{1}$
$A2=A1+A32−C2⇒A_{2}=\frac{A_{1}+A_{3}}{2}-C_{2}\Rightarrow$ $3A_{2}=A_{0}-2（C_{1}+2C_{2}）+2A_{3}$
$A3=A2+A42−C3⇒A_{3}=\frac{A_{2}+A_{4}}{2}-C_{3}\Rightarrow$ $4A_{3}=A_{0}-2（C_{1}+2C_{2}+3C_{3}）+3A_{4}$
由以上可以推导出：
$n+1）A_{n}=A_{0}-2F(n)+nA_{n+1}$
$⇒\Rightarrow$ $An=A0−2F(n)+nAn+1n+1A_{n}=\frac{A_{0}-2F(n)+nA_{n+1}}{n+1}$
$F(n)=C_{1}+2C_{2}+3C_{3}+……nC_{n}$
故此向后遍历即可获得 $A_{1}$ 的值。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double e[1010],dp[1010],f[1010];
int n;
int main(){cin>>n;cin>>f[0]>>f[n+1];for(int i=1;i<=n;i++)cin>>e[i];dp[1]=e[1];for(int i=2;i<=n;i++)dp[i]=dp[i-1]+i*e[i];for(int i=n;i>=1;i--)f[i]=(f[0]-2*dp[i]+i*f[i+1])/(i+1);printf("%.2f\n",f[1]);//cout<<f[1]<<endl;return 0;
}