堆是一种特别的完全二叉树，符合以下两个定义即为堆：

1、完全二叉树；

2、每一个节点的值都必须大于等于或者小于等于其孩子节点的值。若是大于等于，即为最大堆，若是小于等于，即为最小堆。显然，最大堆的根节点是最大值，最小堆的根节点是最小值。

深度为$k$的二叉树至多总共有$2^{k+1}$个节点（定义根节点所在深度$k_0$=0），节点数正好是$2^{k+1}$的二叉树就称为满二叉树；如果对满二叉树的节点编号，有二叉树的节点可以与编号一一对应的话，该二叉树就称为完全二叉树（又或者说，完全二叉树除最后一层外的其余层都是满的，并且最后一层要么是满的，要么在右边缺少连续若干节点）。

完全二叉树有两个特点：

1、具有$n$个节点的完全二叉树的深度为$\lfloor {\log }_{2}n+1\rfloor$（注：$\lfloor \rfloor$表示向下取整）

2、如果用数组表示完全二叉树，并且根节点存储在数组的索引1的位置的时候，任何一个节点的父节点索引位置为该节点的索引位置/2，任何一个节点的左孩子节点的索引位置为该节点的索引位置*2，任何一个节点的右孩子节点的索引位置为该节点的索引位置*2+1。

从零开始用Python实现最小堆的代码如下：

# 「最小堆」的实现
import sysclass MinHeap:def __init__(self, heapSize):# heapSize用于数组的大小，因为数组在创建的时候至少需要指明数组的元素个数self.heapSize = heapSize# 使用数组创建完全二叉树的结构，然后使用二叉树构建一个「堆」self.minheap = [0]*(heapSize+1)# realSize用于记录「堆」的元素个数self.realSize = 0#  添加元素函数def add(self, element):self.realSize += 1# 如果「堆」中元素的个数大于一开始设定的数组的个数，则返回「Add too many elements」if self.realSize > self.heapSize:print("Add too many elements!")self.realSize -= 1return# 将添加的元素添加到数组中self.minheap[self.realSize] = element# 新增元素的索引位置index = self.realSize# 新增元素的父节点的索引位置# 注意，如果用数组表示完全二叉树，并且根结点存储在数组的索引1的位置的时候，任何一个节点的父节点索引位置为「该节点的索引位置/2」，任何一个节点的左孩子节点的索引位置为「该节点的索引位置*2」，任何一个节点的右孩子节点的索引位置为「该节点的索引位置*2+1」parent = index // 2# 当添加的元素小于父节点时，需要将父节点的值和新增元素的值交换while (self.minheap[index] < self.minheap[parent] and index > 1):self.minheap[parent], self.minheap[index] = self.minheap[index], self.minheap[parent]index = parentparent = index // 2# 获取堆顶元素函数def peek(self):return self.minheap[1]# 删除堆顶元素函数def pop(self):# 如果当前「堆」的元素个数为0， 则返回「Don't have any element」if self.realSize < 1:print("Don't have any element!")return sys.maxsizeelse:# 当前「堆」中含有元素# self.realSize >= 1removeElement = self.minheap[1]# 将「堆」中的最后一个元素赋值给堆顶元素self.minheap[1] = self.minheap[self.realSize]self.realSize -= 1index = 1# 当删除的元素不是孩子节点时while (index < self.realSize and index <= self.realSize // 2):# 被删除节点的左孩子节点left = index * 2# 被删除节点的右孩子节点right = (index * 2) + 1# 当删除节点的元素大于 左孩子节点或者右孩子节点，代表该元素的值大，此时需要将该元素与左、右孩子节点中最小的值进行交换if (self.minheap[index] > self.minheap[left] or self.minheap[index] > self.minheap[right]):if self.minheap[left] < self.minheap[right]:self.minheap[left], self.minheap[index] = self.minheap[index], self.minheap[left]index = leftelse:self.minheap[right], self.minheap[index] = self.minheap[index], self.minheap[right]index = rightelse:breakreturn removeElement# 返回「堆」的元素个数def size(self):return self.realSizedef toString(self):print(self.minheap[1 : self.realSize+1])if __name__ == "__main__":# 测试用例minHeap = MinHeap(5)minHeap.add(3)minHeap.add(1)minHeap.add(2)# [1,3,2]minHeap.toString()# 1print(minHeap.peek())# 1print(minHeap.pop())# 2print(minHeap.pop())# 3print(minHeap.pop())minHeap.add(4)minHeap.add(5)# [4,5]minHeap.toString()

实现最大堆的代码如下：

# 「最大堆」的实现
import sysclass MaxHeap:def __init__(self, heapSize):# heapSize用于数组的大小，因为数组在创建的时候至少需要指明数组的元素个数self.heapSize = heapSize# 使用数组创建完全二叉树的结构，然后使用二叉树构建一个「堆」self.maxheap = [0]*(heapSize+1)# realSize用于记录「堆」的元素个数self.realSize = 0#  添加元素函数def add(self, element):self.realSize += 1# 如果「堆」中元素的个数大于一开始设定的数组的个数，则返回「Add too many elements」if self.realSize > self.heapSize:print("Add too many elements!")self.realSize -= 1return# 将添加的元素添加到数组中self.maxheap[self.realSize] = element# 新增元素的索引位置index = self.realSize# 新增元素的父节点的索引位置# 注意，如果用数组表示完全二叉树，并且根结点存储在数组的索引1的位置的时候，任何一个节点的父节点索引位置为「该节点的索引位置/2」，任何一个节点的左孩子节点的索引位置为「该节点的索引位置*2」，任何一个节点的右孩子节点的索引位置为「该节点的索引位置*2+1」parent = index // 2# 当添加的元素大于父节点时，需要将父节点的值和新增元素的值交换while (self.maxheap[index] > self.maxheap[parent] and index > 1):self.maxheap[parent], self.maxheap[index] = self.maxheap[index], self.maxheap[parent]index = parentparent = index // 2# 获取堆顶元素函数def peek(self):return self.maxheap[1]# 删除堆顶元素函数def pop(self):# 如果当前「堆」的元素个数为0， 则返回「Don't have any element」if self.realSize < 1:print("Don't have any element!")return sys.maxsizeelse:# 当前「堆」中含有元素# self.realSize >= 1removeElement = self.maxheap[1]# 将「堆」中的最后一个元素赋值给堆顶元素self.maxheap[1] = self.maxheap[self.realSize]self.realSize -= 1index = 1# 当删除的元素不是孩子节点时while (index < self.realSize and index <= self.realSize // 2):# 被删除节点的左孩子节点left = index * 2# 被删除节点的右孩子节点right = (index * 2) + 1# 当删除节点的元素小于 左孩子节点或者右孩子节点，代表该元素的值小，此时需要将该元素与左、右孩子节点中最大的值进行交换if (self.maxheap[index] < self.maxheap[left] or self.maxheap[index] < self.maxheap[right]):if self.maxheap[left] > self.maxheap[right]:self.maxheap[left], self.maxheap[index] = self.maxheap[index], self.maxheap[left]index = leftelse:self.maxheap[right], self.maxheap[index] = self.maxheap[index], self.maxheap[right]index = rightelse:breakreturn removeElement# 返回「堆」的元素个数def size(self):return self.realSizedef toString(self):print(self.maxheap[1 : self.realSize+1])if __name__ == "__main__":# 测试用例maxHeap = MaxHeap(5)maxHeap.add(1)maxHeap.add(2)maxHeap.add(3)# [3,1,2]maxHeap.toString()# 3print(maxHeap.peek())# 3print(maxHeap.pop())# 2print(maxHeap.pop())# 1print(maxHeap.pop())maxHeap.add(4)maxHeap.add(5)# [5,4]maxHeap.toString()

实现堆的关键是插入和删除，简单来说，以最小堆为例，插入操作就是把新的元素插入到二叉树的最后一个节点（保持完全二叉树），然后不断与其父节点比较大小，进行上移；删除操作就是把根节点元素与最后一个节点元素互换，删除最后一个节点（保持完全二叉树），然后根节点不断与其左右子节点比较大小，进行下移。

在Python中，已经内置了堆的实现，即标准库heapq，官方文档在此。由于官方只实现了最小堆，若想实现最大堆，只需要把元素取负即可。

最小堆示例：

# 最小堆完整代码
import heapq# 新建一个列表
minHeap = []
# 将列表堆化，即将列表转换为最小堆
heapq.heapify(minHeap)
# 分别往最小堆中添加3，1，2
heapq.heappush(minHeap, 3)
heapq.heappush(minHeap, 1)
heapq.heappush(minHeap, 2)
# 查看最小堆的所有元素，结果为：[1,3,2]
print("minHeap: ",minHeap)
# 获取最小堆的堆顶元素
peekNum = minHeap[0]
# 结果为：1
print("peek number: ", peekNum)
# 删除最小堆的堆顶元素
popNum = heapq.heappop(minHeap)
# 结果为：1
print("pop number: ", popNum)
# 查看删除1后最小堆的堆顶元素，结果为：2
print("peek number: ", minHeap[0])
# 查看最小堆的所有元素，结果为：[2,3]
print("minHeap: ",minHeap)
# 获取堆的元素个数，即堆的长度
size = len(minHeap)
# 结果为：2
print("minHeap size: ", size)

最大堆示例：

# 最大堆完整代码
import heapq# 新建一个列表
maxHeap = []
# 将列表堆化，此时的堆是最小堆，我们需要将元素取反技巧，将最小堆转换为最大堆
heapq.heapify(maxHeap)
# 分别往堆中添加1，3，2，注意此时添加的是-1，-3，-2，原因是需要将元素取反，最后将最小堆转换为最大堆
heapq.heappush(maxHeap, 1*-1)
heapq.heappush(maxHeap, 3*-1)
heapq.heappush(maxHeap, 2*-1)
# 查看堆中所有元素：[-3, -1, -2]
print("maxHeap: ",maxHeap)
# 查看堆中的最大元素，即当前堆中最小值*-1
peekNum = maxHeap[0]
# 结果为：3
print("peek number: ", peekNum*-1)
# 删除堆中最大元素，即当前堆中最小值
popNum = heapq.heappop(maxHeap)
# 结果为：3
print("pop number: ", popNum*-1)
# 查看删除3后堆中最大值， 结果为：2
print("peek number: ", maxHeap[0]*-1)
# 查看堆中所有元素，结果为：[-2,-1]
print("maxHeap: ",maxHeap)
# 查看堆的元素个数，即堆的大小
size = len(maxHeap)
# 结果为：2
print("maxHeap size: ", size)

简单练手题

1046. 最后一块石头的重量

class Solution:def lastStoneWeight(self, stones: List[int]) -> int:heap = [-i for i in stones]heapq.heapify(heap)while heap:stone1 = heapq.heappop(heap) * -1if not heap:return stone1else:stone2 = heapq.heappop(heap) * -1stone1 = stone1 - stone2heapq.heappush(heap, stone1 * -1)return 0

只需要创建一个最大堆，每次弹出两个石头，进行相减后放回堆中，若只剩一个石头则返回该石头，否则返回0。

经典题目

最经典的一类题目莫过于 Top K 和 The Kth ，即求数组（大小为 N）中最大或最小的 K 个数或者第 K 个数。这类问题一般有两种思路（以求取最小的 K 个数或者第 K 个数为例）：

1、创建一个大小为 N 的最小堆，然后对其进行 K 次弹出（heappop）操作，由于每次都是弹出最小值，所以得到的结果一定就是最小的 K 个数，只要最小的第 K 个数也可以。时间复杂度是 $O(K\log N)$，是因为进行了 K 次弹出操作，而每次弹出后最小堆都会比较 $\log N$ 次把下一个最小值放到根节点，因此是$O(K\log N)$，空间复杂度则为 $O(N)$。

2、创建一个大小为 K 的最大堆，遍历数组（N 次遍历），首先数组顺序的前 K 个元素加入最大堆（填满），然后当最大堆的元素个数达到 K 时，后面的遍历就要将当前遍历元素与堆顶元素进行比较，如果当前元素大于堆顶元素，则放弃当前元素，继续遍历下一个元素；如果当前元素小于堆顶元素，则删除堆顶元素，将当前元素加入到最大堆中（heapreplace）。最后得到的最大堆中的 K 个元素就是最小的 K 个元素。时间复杂度是 $O(N\log K)$，是因为进行了 N 次遍历，而每次遍历元素若加入最大堆，就会比较 $\log K$ 次把下一个最小值放到根节点，因此是$O(N\log K)$，空间复杂度则为 $O(K)$。

剑指 Offer 40. 最小的k个数（面试题 17.14. 最小K个数）

class Solution:def getLeastNumbers(self, arr: List[int], k: int) -> List[int]:heapq.heapify(arr)ans = []for _ in range(k):ans.append(heapq.heappop(arr))return ans

建立最小堆，弹出K个数即为最小的K个数。

215. 数组中的第K个最大元素（剑指 Offer II 076. 数组中的第 k 大的数字）

class Solution:def findKthLargest(self, nums: List[int], k: int) -> int:heapq.heapify(nums)while len(nums) > k:heapq.heappop(nums)return nums[0]

此题用取负实现最大堆也可以，但是更好的是实现一个长度为K的最小堆，则此时堆的最小值就是数组中的第K个最大元素。

703. 数据流中的第 K 大元素（剑指 Offer II 059. 数据流的第 K 大数值）

class KthLargest:def __init__(self, k: int, nums: List[int]):self.k = kself.heap = numsheapq.heapify(self.heap)def add(self, val: int) -> int:heapq.heappush(self.heap, val)while len(self.heap) > self.k:heapq.heappop(self.heap)return self.heap[0]

思路与上一题一样，实现一个长度为K的最小堆，即可得到数组中第K大元素。

1985. 找出数组中的第 K 大整数

class Solution:def kthLargestNumber(self, nums: List[str], k: int) -> str:heap = [int(i) for i in nums]heapq.heapify(heap)while len(heap) > k:heapq.heappop(heap)return str(heap[0])

还是第K大的数，加上了字符串到整数的转换。

347. 前 K 个高频元素（剑指 Offer II 060. 出现频率最高的 k 个数字）

class Solution:def topKFrequent(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:count = collections.Counter(nums)heap = []for key, val in count.items():if len(heap) < k:heapq.heappush(heap, (val, key))else:if val > heap[0][0]:heapq.heapreplace(heap, (val, key))return [i[1] for i in heap]

使用 collections.Counter()统计频率，然后建立长度为K的最小堆，若频率值比堆的最小值大，则替换掉它。此处有两个知识点要注意：

1、堆元素可以为元组，但比较值必须在前面，即 (val, key)。
2、heapq.heappushpop(heap, item)是先将 item 放入堆中，然后弹出并返回 heap 的最小元素；
heapq.heapreplace(heap, item)是先弹出并返回 heap 中最小的一项，然后推入新的 item，相当于poppush。

692. 前K个高频单词

class Solution:def topKFrequent(self, words: List[str], k: int) -> List[str]:count = collections.Counter(words)heap = []for key, value in count.items():heapq.heappush(heap, (-value, key))ans = []for _ in range(k):ans.append(heapq.heappop(heap)[1])return ans

此题若沿用上一题思路不太好做，这里改为建立最大堆，直接弹出K个元素即可，隐含的机制是堆会自动对元组 (-value, key) 进行从左到右优先级的排序。

451. 根据字符出现频率排序

class Solution:def frequencySort(self, s: str) -> str:count = collections.Counter(list(s))heap = []for key, value in count.items():heapq.heappush(heap, (-value, key))ans = ''for _ in range(len(heap)):value, key = heapq.heappop(heap)ans = ans + key * -valuereturn ans

这题也是统计词频并排序，只是输出需要改动一下而已。

373. 查找和最小的K对数字（剑指 Offer II 061. 和最小的 k 个数对）

class Solution:def kSmallestPairs(self, nums1: List[int], nums2: List[int], k: int) -> List[List[int]]:heap = []for n1 in nums1:for n2 in nums2:if len(heap) < k:heapq.heappush(heap, (-n1-n2, [n1, n2]))elif heap and -heap[0][0] > n1 + n2:heapq.heapreplace(heap, (-n1-n2, [n1, n2]))else:breakreturn [i[1] for i in heap]

本题不能用最小堆，否则每次比较只能与最小值比较，不能替换掉其他值。所以用长度为K的最大堆，与347题基本一样。

263. 丑数

class Solution:def isUgly(self, n: int) -> bool:if n <= 0:return Falsefactors = [2, 3, 5]for factor in factors:while n % factor == 0:n //= factorreturn n == 1

数学类型的题目，基本写法记住就好。

264. 丑数 II（剑指 Offer 49. 丑数）（面试题 17.09. 第 k 个数）

class Solution:def nthUglyNumber(self, n: int) -> int:factors = [2, 3, 5]seen = {1}heap = [1]for i in range(n-1):cur = heapq.heappop(heap)for factor in factors:nxt = cur * factorif nxt not in seen:seen.add(nxt)heapq.heappush(heap, nxt)return heapq.heappop(heap)

此题不是判断丑数，而是寻找第 N 个丑数，那就使用一个最小堆，每次弹出最小的丑数，然后将其与3个因子结合可以生成3个新的丑数，并加入到最小堆中，重复 N-1 次，最后返回第 N 个即为所求。

378. 有序矩阵中第 K 小的元素

class Solution:def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:n = len(matrix)heap = [(matrix[i][0], i, 0) for i in range(n)]heapq.heapify(heap)for _ in range(k-1):num, x, y = heapq.heappop(heap)   # x是在哪一行，y是一行中的哪个位置（列）if y != n - 1:heapq.heappush(heap, (matrix[x][y + 1], x, y + 1))return heapq.heappop(heap)[0]

本题是堆与矩阵的结合题，用二分查找是最优解法，但此处还是使用了堆。只需要用一个最小堆记录最小值，每弹出一个最小值就把它在矩阵中右边的元素加入到堆中，若右边没有元素则跳过，重复 K 次即可。

1439. 有序矩阵中的第 k 个最小数组和

class Solution:def kthSmallest(self, mat, k: int) -> int:m = len(mat)n = len(mat[0])heap = []cur_sum = 0# 第一列的和for i in range(m):cur_sum += mat[i][0]# 各行的指针pointers = [0] * mheapq.heappush(heap, [cur_sum, tuple(pointers)])# 出现过的指针组合放入seenseen = set()seen.add(tuple(pointers))  # 必须用tuple才能hash，才能放入集合for _ in range(k-1):# 从堆中pop出cur_sum(最小数组和)和pointers(指针数组)cur_sum, pointers = heapq.heappop(heap)# 每个指针轮流后移一位，将new_sum(新的数组和)和new_pointers(新的指针数组)push入堆for idx, pointer in enumerate(pointers):if pointer < n - 1:# tuple变为list修改再变回tuplenew_pointers = list(pointers)new_pointers[idx] = pointer + 1new_pointers = tuple(new_pointers)if new_pointers not in seen:new_sum = cur_sum - mat[idx][pointer] + mat[idx][pointer + 1]heapq.heappush(heap, [new_sum, new_pointers])seen.add(new_pointers)return heapq.heappop(heap)[0]

这道困难题可以借鉴丑数的思路，用最小堆记录和值 sum 与指针组合 pointers（注意pointers必须用元组，否则不能哈希，放不进集合），然后用集合 seen 记录出现过的 pointers，如果没有出现过，则 push 进最小堆并记录到 seen 中。重复 K 次的 pop，然后让每行的指针都后移一位，直到无法移动为止。