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本文将讲解BFS，Dijstra，A*，动态规划的算法原理，不正之处望读者指正，希望有兴趣的读者能在评论区提出一些这些算法的面试考点，共同学习，一起进步

0 图论基础

图有三种：无向图、有向图、带权重的图
无向图
Alt 有向图
Alt

带权重的图
Alt

1 BFS

广度优先搜索算法
利用队列queue数据结构实现：先进先出
在这里插入图片描述
算法流程（伪代码）：

BFS(G, start, goal):let Q be queue;Q.push(start);mark start as visited;while (!Q.empty()){v = Q.front();Q.pop();if (v is the goal) return v;for all neighbours n of v in GQ.push(n);n->parent = v;mark n as visited;}

BFS总结：
（1）相同探索所有的方向
（2）如果所有边权重为1，那么用BFS搜索出来的路径是cost最优的
（3）在不同的场景中，不能保证所有的边权重为1，对于这些场景，BFS受限

2 Dijstra

核心思想：
（1）相比BFS，Dijstra维护一个新变量g(n)，g(n)表示从起始节点到当前节点的累积成本
（2）从openset(Min-priority queue)中访问累积成本g最低的节点

算法流程（伪代码）：

Dijstra(G, start, goal):let open_list be priority_queue;open_list.push(start, 0);g[start] = 0;while (!open_list.empty()){current = open_list.pop();mark current as visited;if (current is the goal) return current;for (all unvisited neightbours next of current in G){next_cost = g[current] + cost(current, next);if (next is not in open_list)open_list.push(next, next_cost);else {if (g[next] > next_cost)g[next] = next_cost;}}}

优点：
（1）Dijstra算法能找到从起始节点到图上所有其他节点的最短路径
（2）Dijstra算法满足最优性
缺点：每次都会从open_list寻找代价最少的节点，但是并不知道终点在哪，如果用这个算法做图中特定两个点的最短路径，是比较低效的

3 A*算法

A*算法手撕版本见手撕A算法（详解A算法）

核心思想：

（1）相比Dijstra，A*将目标点的成本估计为启发式信息以提高效率
（2）启发式函数h(n)：表示从节点n到目标的估计成本
（3）评估每个节点的成本函数：f(n)=g(n)+h(n)
（4）从open_list选择f-score最低的节点，而不是Dijstra算法中的g-score

算法流程（伪代码）：

Astar(G, start, goal):let open_list be priority_queue;g[start] = 0;f[start] = g[start] + h[start];open_list.push(start, f[start]);while (!open_list.empty()){current = open_list.pop();mark current as visited;if (current is the goal) return current;for all unvisited neighbours next of current in Gnext_cost = g[current] + cost(current, next);if (next is not in open_list)open_list.push(next, next_cost + h[next]);else{if (g[next] > next_cost) {g[next] = next_cost;f[next] = next_cost + h[next];}}}

启发式函数设计

在路径搜索过程中，没有唯一启发函数设计原则，需要根据特定的任务来设计，如果最优性和距离相关，则可以计算节点之间的直线距离来估计

三种常用的距离：
起点： $p_1, p_2)$ 终点： $q_1, q_2)$
（1）Euclidian distance
$d(p,q)=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2}$
（2）Manhattan distance
$d(p,q)=|q_1 - p_1|+|q_2 - p_2|$
（3）Great circle distance
Alt
$\bigtriangleup \sigma =arccos(sin\phi _1sin\phi_2+cos\phi_1cos\phi_2cos(\bigtriangleup\lambda ))$

$r\bigtriangleup \sigma$

最优性

启发式函数 $h (n) < cos t (n, g o a l)$
只要启发式函数提供了小于实际成本的估计，A*将始终找到最优路径，并且通常比Dijstra快
在这里插入图片描述
实际上A->B->D是最短路径
因为B的启发式函数高估了对目标的成本

这种高估导致搜索算法相信节点C总成本低于节点B，使得节点C在节点B之前访问，导致结果不是最优路径

在gridmap中如何设计启发式函数
在这里插入图片描述

使用8连接，曼哈顿距离启发式高估了成本
欧几里得距离总是可以接受

A*算法的精度和效率
在这里插入图片描述

（1） $h (n) = 0$ ：A退化为Dijstra
（2） $h (n) < cos t (n, g o a l)$ ：A满足最优性，效率比Dijstra更高
（3） $h (n) = cos t (n, g o a l)$ ：A满足最优性，并且有最高的效率
（4） $h (n) > cos t (n, g o a l)$ ：A不满足最优性，高估实际成本

BFS、Dijstra、A*总结：

BFS	Dijstra	A*
（1）BFS算法会朝着周围等价扩展	（1）相比BFS，Dijstra倾向于累积成本最小化，不是平等地搜索所有可能的路径，能在加权图中满足最优性	（1）A*是Dijstra的修改，添加了启发式函数h(n)提高搜索效率
（2）如果每条边权重为1，BFS搜索出来的path也是最优解	（2）如果每条边权重为1，BFS=Dijstra	（3）启发式函数的设计会影响效率和准确性