七大查找算法

1. 顺序查找
2. 二分查找
3. 插值查找
4. 斐波那契查找
5. 树表查找
6. 分块查找
7. 哈希查找

查找是在大量的信息中寻找一个特定的信息元素，在计算机应用中，查找是常用的基本运算，例如编译程序中符号表的查找。本文简单概括性的介绍了常见的七种查找算法，说是七种，其实二分查找、插值查找以及斐波那契查找都可以归为一类——插值查找。插值查找和斐波那契查找是在二分查找的基础上的优化查找算法。树表查找和哈希查找会在后续的博文中进行详细介绍。

查找定义：根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。

查找算法分类：

1）静态查找和动态查找；

　　　　注：静态或者动态都是针对查找表而言的。动态表指查找表中有删除和插入操作的表。

　　2）无序查找和有序查找。

　　　　无序查找：被查找数列有序无序均可；

　　　　有序查找：被查找数列必须为有序数列。

平均查找长度（Average Search Length，ASL）：需和指定key进行比较的关键字的个数的期望值，称为查找算法在查找成功时的平均查找长度。

　　对于含有n个数据元素的查找表，查找成功的平均查找长度为：ASL = Pi*Ci的和。
　　Pi：查找表中第i个数据元素的概率。
　　Ci：找到第i个数据元素时已经比较过的次数。

1. 顺序查找

说明：顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。

基本思想：顺序查找也称为线形查找，属于无序查找算法。从数据结构线形表的一端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较，若相等则表示查找成功；若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点，表示查找失败。

复杂度分析：　

　　查找成功时的平均查找长度为：（假设每个数据元素的概率相等） ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ;
　　当查找不成功时，需要n+1次比较，时间复杂度为O(n);

　　所以，顺序查找的时间复杂度为O(n)。

　C++实现源码：

//顺序查找
int SequenceSearch(int a[], int value, int n)
{int i;for(i=0; i<n; i++)if(a[i]==value)return i;return -1;
}

java实现源码：

public class sequence{public static  boolean SequenceSearch(int a[],int k,int value){for( int i = 0 ; i<k;i++){if( value == a[i])return true;elsereturn false;}return false;}public static void main(String[] args) {int[] a = {8,2,4,5,3,10,11,6,9};System.out.println(SequenceSearch(a,a.length,20));}
}
//printf: false
	public static  boolean SequenceSearch(int a[],int k,int value){for( int i = 0 ; i<k;i++){if( value == a[i])return true;elsereturn false;}return false;}public static void main(String[] args) {int[] a = {8,2,4,5,3,10,11,6,9};System.out.println(SequenceSearch(a,a.length,20));}
}
//printf: false

2. 二分查找

　说明：元素必须是有序的，如果是无序的则要先进行排序操作。

　　基本思想：也称为是折半查找，属于有序查找算法。用给定值k先与中间结点的关键字比较，中间结点把线形表分成两个子表，若相等则查找成功；若不相等，再根据k与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表，这样递归进行，直到查找到或查找结束发现表中没有这样的结点。

　　复杂度分析：最坏情况下，关键词比较次数为log2(n+1)，且期望时间复杂度为O(log2n)；

　　注：折半查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，折半查找能得到不错的效率。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。——《大话数据结构》

C++实现源码：

//二分查找（折半查找），版本1
int BinarySearch1(int a[], int value, int n)
{int low, high, mid;low = 0;high = n-1;while(low<=high){mid = (low+high)/2;if(a[mid]==value)return mid;if(a[mid]>value)high = mid-1;if(a[mid]<value)low = mid+1;}return -1;
}//二分查找，递归版本
int BinarySearch2(int a[], int value, int low, int high)
{int mid = low+(high-low)/2;if(a[mid]==value)return mid;if(a[mid]>value)return BinarySearch2(a, value, low, mid-1);if(a[mid]<value)return BinarySearch2(a, value, mid+1, high);
}

java 实现源码：

/*1.*/
public class BinarySearch1{public static int binarysearch(int[] a,int n,int value){int low = 0;int high = n - 1;int mid;while(low < high){mid = (low + high)/2;if(value < a[mid])high = mid - 1;if(value > a[mid])low = mid + 1;if(value == a[mid])return mid;}return -1;}public static void main(String[] args) {//int[] a = {1,4,2,9,8,6,7,0,3,5}int[] a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};System.out.println(binarysearch(a,a.length,7));} 
}	public static int binarysearch(int[] a,int n,int value){int low = 0;int high = n - 1;int mid;while(low < high){mid = (low + high)/2;if(value < a[mid])high = mid - 1;if(value > a[mid])low = mid + 1;if(value == a[mid])return mid;}return -1;}public static void main(String[] args) {//int[] a = {1,4,2,9,8,6,7,0,3,5}int[] a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};System.out.println(binarysearch(a,a.length,7));} 
}

/*2.recursive algorithm 	*/
public class BinarySearch2{public static int binarysearch(int[] a,int value,int low,int high){int mid = (low + high)/2;if(value == a[mid])return mid;mid = (low + high)/2;if(value < a[mid])return binarysearch(a,value,low,mid - 1);if(value > a[mid])return binarysearch(a,value,mid + 1,high);	return -1;}public static void main(String[] args) {//int[] a = {1,4,2,9,8,6,7,0,3,5}int[] a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};System.out.println(binarysearch(a,4,0,a.length-1));} 
}

3. 插值查找

　　在介绍插值查找之前，首先考虑一个新问题，为什么上述算法一定要是折半，而不是折四分之一或者折更多呢？

　　打个比方，在英文字典里面查“apple”，你下意识翻开字典是翻前面的书页还是后面的书页呢？如果再让你查“zoo”，你又怎么查？很显然，这里你绝对不会是从中间开始查起，而是有一定目的的往前或往后翻。

　　同样的，比如要在取值范围1 ~ 10000 之间 100 个元素从小到大均匀分布的数组中查找5，我们自然会考虑从数组下标较小的开始查找。

　　经过以上分析，折半查找这种查找方式，不是自适应的（也就是说是傻瓜式的）。二分查找中查找点计算如下：

　　mid=(low+high)/2, 即mid=low+1/2*(high-low);

　　通过类比，我们可以将查找的点改进为如下：

　　mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low)，

　　也就是将上述的比例参数1/2改进为自适应的，根据关键字在整个有序表中所处的位置，让mid值的变化更靠近关键字key，这样也就间接地减少了比较次数。

　　基本思想：基于二分查找算法，将查找点的选择改进为自适应选择，可以提高查找效率。当然，差值查找也属于有序查找。

　　注：对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。

　　复杂度分析：查找成功或者失败的时间复杂度均为O(log2(log2n))。

java代码实现：

public class InsertionSearch{public static int InsertionSearch(int[] a, int value, int low, int high){int mid = low+(value-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low);if(a[mid]==value)return mid; if(a[mid]>value)return InsertionSearch(a, value, low, mid-1);if(a[mid]<value)return InsertionSearch(a, value, mid+1, high);return -1;}public static void main(String[] args) {int[] a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};System.out.println(InsertionSearch(a,2,0,a.length-1));}
}

4. 斐波那契查找

在介绍斐波那契查找算法之前，我们先介绍一下很它紧密相连并且大家都熟知的一个概念——黄金分割。

　　黄金比例又称黄金分割，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1:0.618或1.618:1。

　　0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因此被称为黄金分割。

　　大家记不记得斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和）。然后我们会发现，随着斐波那契数列的递增，前后两个数的比值会越来越接近0.618，利用这个特性，我们就可以将黄金比例运用到查找技术中。

　　基本思想：也是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找，提高查找效率。同样地，斐波那契查找也属于一种有序查找算法。

　　相对于折半查找，一般将待比较的key值与第mid=（low+high）/2位置的元素比较，比较结果分三种情况：

　　 1）相等，mid位置的元素即为所求

　　 2）>，low=mid+1;

3）<，high=mid-1。

　　斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，及n=F(k)-1;

开始将k值与第F(k-1)位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果也分为三种

　　1）相等，mid位置的元素即为所求

　　2）>，low=mid+1,k-=2;

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[mid+1,high]范围内，k-=2 说明范围[mid+1,high]内的元素个数为n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。

　　3）<，high=mid-1,k-=1。

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[low,mid-1]范围内，k-=1 说明范围[low,mid-1]内的元素个数为F(k-1)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。

　　复杂度分析：最坏情况下，时间复杂度为O(log2n)，且其期望复杂度也为O(log2n)。

5. 树表查找

　　5.1 最简单的树表查找算法——二叉树查找算法。

　　基本思想：二叉查找树是先对待查找的数据进行生成树，确保树的左分支的值小于右分支的值，然后在就行和每个节点的父节点比较大小，查找最适合的范围。这个算法的查找效率很高，但是如果使用这种查找方法要首先创建树。

　　二叉查找树（BinarySearch Tree，也叫二叉搜索树，或称二叉排序树Binary Sort Tree）或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

　　1）若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　2）若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

　　3）任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

　　二叉查找树性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。

不同形态的二叉查找树如下图所示：

复杂度分析：它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为O(logn)，但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡（比如，我们查找上图（b）中的“93”，我们需要进行n次查找操作）。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是平衡查找树设计的初衷。

　　下图为二叉树查找和顺序查找以及二分查找性能的对比图：

　　基于二叉查找树进行优化，进而可以得到其他的树表查找算法，如平衡树、红黑树等高效算法

5.2 平衡查找树之2-3查找树（2-3 Tree）

　　2-3查找树定义：和二叉树不一样，2-3树运行每个节点保存1个或者两个的值。对于普通的2节点(2-node)，他保存1个key和左右两个自己点。对应3节点(3-node)，保存两个Key，2-3查找树的定义如下：

　　1）要么为空，要么：

　　2）对于2节点，该节点保存一个key及对应value，以及两个指向左右节点的节点，左节点也是一个2-3节点，所有的值都比key要小，右节点也是一个2-3节点，所有的值比key要大。

　　3）对于3节点，该节点保存两个key及对应value，以及三个指向左中右的节点。左节点也是一个2-3节点，所有的值均比两个key中的最小的key还要小；中间节点也是一个2-3节点，中间节点的key值在两个跟节点key值之间；右节点也是一个2-3节点，节点的所有key值比两个key中的最大的key还要大。

Definition of 2-3 tree

2-3查找树的性质：

　　1）如果中序遍历2-3查找树，就可以得到排好序的序列；

　　2）在一个完全平衡的2-3查找树中，根节点到每一个为空节点的距离都相同。（这也是平衡树中“平衡”一词的概念，根节点到叶节点的最长距离对应于查找算法的最坏情况，而平衡树中根节点到叶节点的距离都一样，最坏情况也具有对数复杂度。）

　　性质2）如下图所示：

复杂度分析：

　　2-3树的查找效率与树的高度是息息相关的。

在最坏的情况下，也就是所有的节点都是2-node节点，查找效率为lgN
在最好的情况下，所有的节点都是3-node节点，查找效率为log3N约等于0.631lgN

　　距离来说，对于1百万个节点的2-3树，树的高度为12-20之间，对于10亿个节点的2-3树，树的高度为18-30之间。

　　对于插入来说，只需要常数次操作即可完成，因为他只需要修改与该节点关联的节点即可，不需要检查其他节点，所以效率和查找类似。下面是2-3查找树的效率：

analysis of 2-3 tree

5.3 平衡查找树之红黑树（Red-Black Tree）

　　2-3查找树能保证在插入元素之后能保持树的平衡状态，最坏情况下即所有的子节点都是2-node，树的高度为lgn，从而保证了最坏情况下的时间复杂度。但是2-3树实现起来比较复杂，于是就有了一种简单实现2-3树的数据结构，即红黑树（Red-Black Tree）。

　　基本思想：红黑树的思想就是对2-3查找树进行编码，尤其是对2-3查找树中的3-nodes节点添加额外的信息。红黑树中将节点之间的链接分为两种不同类型，红色链接，他用来链接两个2-nodes节点来表示一个3-nodes节点。黑色链接用来链接普通的2-3节点。特别的，使用红色链接的两个2-nodes来表示一个3-nodes节点，并且向左倾斜，即一个2-node是另一个2-node的左子节点。这种做法的好处是查找的时候不用做任何修改，和普通的二叉查找树相同。

Red black tree