分块入门

我貌似和所有的数据结构都有些误会。。。。。。

在处理一些修改查询问题的时候，我们可以利用分治的思想，比如说把一个线性的数据不断分成一棵二叉树，也就是我们所说的线段树，这样我们就可以在logn的时限里做到修改和查询。同理我们也可以把数据分成一个只有两层的树（算上根节点三层），每个节点分成sqrt（该节点大小）个节点，这就是我们所说的分块了。

这里我们主要讲解分块的思想：

话不多说先上一张图：

如图，我们这就是一个分好块的结构。

那么，这个结构有个什么用呢？很明显，我们可以用它维护单点修改与查询，区间的修改，查询。。。

看上去有些眼熟，是不是，想起来了些什么？

没错，就是线段树那几个操作。那么现在我们继续，可以发现分块的修改和查询操作都是O（sqrt（n））的。那还要分块有个什么用？？

我们先来看这么一道题：

我们刚开始看的时候可能觉得可以用数据结构实现，什么线段树主席树平衡树都可以想一想，不过一会你就会发现，它们都不可行，过了一会，你会发现有一种线段树套平衡树的方法或许可做，只不过代码复杂度很高，而且估计要调不短的时间吧。这个时候就是分块出场的时候了。

为什么这个题不能通过线段树实现，原因就在于第二个操作过于烦人，线段树维护的区间信息无法找出单点的，如果要查找一个区间中的所有点，无法得到一个让人满意的复杂度。那么为什么分块就可以令人满意了呢？？

首先我们说明几个接下来经常会说的名词：

整块：查询范围内完全包括的块，也就是范围内第二层的块。

零散块：查询范围内除了整块其他的部分，是第三层的块，也就是一个一个的点。

接着声明几个变量：

那么我们再修改的时候，对于区间内所有的整块，我们O(1)的打上加法标记即可。

那么对于所有的零散块呢？

我们发现，我们最多有两个部分的零散块，其中每个部分里最多有不超过sqrt（n）个点，我们直接暴力枚举下标修改即可，那么整个修改操作的复杂度就是O（sqrt（n））；

那么我们再查询的时候，对于每个整块，我们可以知道它是完全有序的，所以我们可以直接二分查找返回。对于零散块，我们仍然选择暴力枚举，那么查询操作的复杂度就是O（sqrt（nlogn））。

所以整个操作我们就可以在O（qsqrt（nlogn））的复杂度内完成了。

笔者秉承懂了算法不看模板的法则，自己手动实现了一下这个题目。接下来分块讲述一下代码的意义：

这一部分就是预处理并且分块的部分，和块的左右区间的处理。

然后在你的分块主体开始之前，必须要有的一条语句：

这条语句就是先把b数组的每一个块中的数据排好序，这样要不然很有可能找的时候由于每一块的b数组还没有排序导致查找错误。

然后就是分块的主体部分，我们分成修改和查询分别看一下：

这个就是修改操作。要注意的是，在读入的x和y点属于同一个块的时候我们要特殊操作。

如果不在同一个块里，我们就遍历包含的所有整块，打上标记。然后对于左右那两个零散块，我们直接枚举就可以了。为什么用的是a数组而不是b数组？因为b数组在排完序之后下标代表的意义是数的大小顺序，而不是我们一开始读入的顺序，不能直接修改b数组。还有一个就是，这里笔者为了打上去方便，修改b数组的时候用了sort，这样我们的复杂度就增加了一个sqrt（logn）但是我们使用归并重构零散块的话还是可以达到sqrt（n）的。对于在同一个块里的，我们也是直接暴力枚举就可以了。

为什么这些零散块可以暴力枚举，复杂度不会很高么？不会的，在修改每一个零散块的时候，我们最多也就修改sqrt（n）个点，所以并不会有特别高的额复杂度。