树上倍增一些理解和写法

树上倍增可以比较容易求得i节点的第k个父亲，我们定义一个二维数组fa[i][j]代表节点i的第2^j个父亲，关于有什么用我们等会再说，现在先学会怎么去求这个fa数组

我们可以通过从根节点开始一遍dfs求得所有fa数组，首先我们发现fa数组有这样一个特性，fa[i][j] = fa[ fa[i][j-1] ][j-1]，什么意思呢，就是说节点i的第2^j个父亲就是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲，这看起来似乎是一句显然成立的废话，但我们可以通过这个特性以O(nlogn)的复杂度内求fa数组。

我们知道dfs是从根开始，一步一步往下走的，这就说明除了根节点，每个节点当它被dfs到的时候，它的所有父亲肯定都已经被dfs过了，这样通过刚才的关系，就可以由i的第2^(j-1)个父亲求fa[i][j]了，我们需要处理的只是i的第2^j个父亲有可能不存在罢了。我们初始化fa数组为0，然后从根开始dfs。若有n个节点，则显然一个节点最多只可能往前找2^log(n)个父亲

void dfs(int x)  
{  for(int i=1;i<=logn;i++)  //logn代表log(n)if(fa[x][i-1])   //在dfs(x)之前，x的父亲们的fa数组都已经计算过了fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];  else break;    //x的第2^j个父亲可能不存在for(/*每一个与x相连的节点i*/)  if(i!=fa[x][0])     //如果i是x的儿子
        {  fa[i][0]=x;       //记录儿子的第一个父亲是x  dep[i]=dep[x]+1;      //深度  
            dfs(i);  }  
}  

 

求出fa数组后有什么用呢？其实我们可以轻易的在O(logk)内求出i的第k个父亲，根据数组定义看起来我们只能求i的第2，4，8...2^j次方个父亲，实际上我们可以求出i的第任意个父亲

我们有这样一个事实，任何一个数，都可以写成多个2的x次方的和，实际上这就是2进制转10进制的过程，比如：10的二进制表示为1010，它的左数第2位和第4位上是1，所以2^(2-1)+2^(4-1) = 2^1 + 2^3 = 10。这个思想很有用，需要记住

所以对于任意一个数k，只要我们把它写成若干个2的次方形式的数的和，就可以利用fa数组了。

另外我们代码中还有个技巧，(1<<i)&k表示k的二进制表示中，左数第(i-1)位上是否为1 

经过上面知识我们可以写出求i的第k个父亲的代码

int father(int i,int k)  
{  for(int x=0;x<=int(log2(k));x++)  if((1<<x)&k)    i=fa[i][x];     return i;  
}