从40个亿中产生一个不存在的整数

题目：给定一个输入文件，包含40亿个非负整数，请设计一个算法，产生一个不存在该文件中的整数，假设你由1GB的内存来完成任务。

用位图去存储大数据

在数据量很大时，采用位方式（俗称位图）存储数据是常用的思路。

我们可以使用bit map的方式来表示数出现的情况。具体来说，是申请一个长度为4 294 967 295（32位无符号整数的十进制最大值，即0xFFFFFFFF）的bit类型的数组bitArr（就是boolean类型），bitArr上的每个位置只可以表示0或1状态，0表示没有这个数，1表示有这个数。在遍历40亿个无符号数时，遇到所有的数时，就把bitArr相应的位置的值设置为1。例如遇到1000，就将bitArr[1000]设置为1。8个bit为1B，所以长度为4 294 967 295的bit类型的数组占用500MB空间，这就满足题目给定的要求了。

我们可以先遍历一次数据，将所有的数都存入位图中，再依次遍历bitArr，如果哪个位置上的值没被设置为1，这个数就不在40亿个数中。例如，发现bitArr[8001] = 0，那么8001就是没出现过的数，遍历完bitArr后，所有没出现过的数就都找出来了。

位存储的核心是：我们存储的不是这40亿个数据本身，而是其对应的位置。

用10MB来存储

把上面的问题进阶一下，如果只用10MB的内存，那么位图也不能搞定了，需要另寻他法。

这里使用分块的思想，时间换空间，通过两次遍历来搞定。

40亿 / 8字节 = 5亿字节，大约0.5GB也就是500MB的空间才能存下所有的数。如果只有10MB的空间，至少需要50个块才可以。

一般来说，划分都是使用2的整数倍，因此划分为64个块是合理的。

首先，将0~4 294 967 295这个范围平均划分为64个区间，每个区间是67 108 864个数，例如：

• 第0 区间（0~67 108 863）
• 第 1 区间（67 108 864~134 217 728）
• 第 i 区间（67 108 864´I~67 108 864´(i+1)-1）
• ……
• 第 63 区间（4 227 858 432~4 294 967 295）

因为一共只有40亿个数，所以如果统计落在每一个区间上的数有多少，肯定有至少一个区间上的计数少于67 108 864。利用这一点可以找到其中一个没出现过的数。具体过程如下：

第一次遍历，先申请长度为 64 的整型数组 countArr[0…63]，countArr[i]用来统计区间 i 上的数有多少。遍历 40 亿个数，根据当前数是多少来决定哪一个区间上的计数增加。例如，如果当前数是 3 422 552 090 ， 3 422 552 090/67 108 864=51 ， 所以第 51 区间上的计数增加countArr[51]++。遍历完 40 亿个数之后，遍历 countArr，必然会有某一个位置上的值（countArr[i]） 小于 67 108 864，表示第 i 区间上至少有一个数没出现过。我们肯定会找到至少一个这样的区间。

此时使用的内存就是countArr 的大小（64*4B），是非常小的。

假设找到第 37 区间上的计数小于 67 108 864，那么我们对这40亿个数据进行第二次遍历：

1. 申请长度为 67 108 864 的 bit map，这占用大约 8MB 的空间，记为 bitArr[0…67108863]。
2. 遍历这 40 亿个数，此时的遍历只关注落在第 37 区间上的数，记为 num（num满足num/67 108 864==37），其他区间的数全部忽略。
3. 如果步骤 2 的 num 在第 37 区间上，将 bitArr[num - 67108864*37]的值设置为 1，也就是只做第 37 区间上的数的 bitArr 映射。
4. 遍历完 40 亿个数之后，在 bitArr 上必然存在没被设置成 1 的位置，假设第 i 个位置上的值没设置成 1，那么 67 108 864´37+i 这个数就是一个没出现过的数。

总之就是先分块，根据内存限制去决定分块的数量，以及统计区间的大小，即第二次遍历的时候bitArr大小，然后利用区间计数的方式，找到哪个计数不足的区间，这个区间上肯定有没出现的数，最后最这个区间做位图映射，遍历一遍后就能找到一次都没出现的数了。