拓扑序列

定义

是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。 且该序列必须满足下面两个条件： 每个顶点出现且只出现一次。 若存在一条从顶点A 到顶点B 的路径，那么在序列中顶点A 出现在顶点B 的前面。

并不是所有的图都存在拓扑序。有向无环图一定存在拓扑序，有向无环图又被称为拓扑图。

基本概念

入度

一个点有多少条边指向自己

出度

由该点出发的有几条边

应用范围

有向无环图

作用

判断该图中有无环。

形成

只要有一个环，就无法形成拓扑序，因为环上每个点的入度都不为0。

有向无环图一定存在一个拓扑序，有向无环图也被称为拓扑图。

一个有向无环图，一定至少存在一个入度为0的点。

如何求拓扑序

构造算法思路

因为进行一个排序，保证满足拓扑定义。而有向无环图中是一定有一个或多个点入度为0的，这些点只可能在拓朴排序前面，所以以他们中的一个为起点进行排序。

以某点为起始点的边的另一个节点，在序列中只可能在该边起始点后面，由于边与边之间可能会链接，所以为保证拓扑序列的正确性，每次将入度为0的点作为基点进行相关边的探查，当存在边所关联的另一点只有这一条边的时候，该点应该为拓扑序列的下一批点中的一个【上一批可能有多个点度为零】。所以进行拓扑序列的构造应该进行以下操作。

将所有入度为0的点入队列，当队列非空时，每次取出队列头元素top，依次遍历所有以top为起始点的有向边。将对应边的另一点入度减一【表示去掉以t为起始点的这条边】，将这些点中入度为0的点输出并加入队列。此时这些点已然在拓扑序列之中。之后做同样的操作。

所有入度为0的点【没有任何一条边指向该点】都可以作为起点，都可以排在当前最前面的位置。

出队的顺序是拓扑序，拓扑序可能不唯一。

实现

其实就是使用BFS

在使用邻接链表存储边时，记录结束节点的入度。之后将入度为0的入队，然后进行bfs。

每次记录队头后出队，以队头为起点的边的终点的入度减1，看能不能为0，为零入队。以此类推

queue <——所有入度为0的点 将所有入度为0的点入队

//宽搜

while(queue 不空){

t<—每一次取队头

枚举t的所有出边t—>j

删掉t—>j，d[j]--(j的入度减1)

if(d[j]==0){

queue <——j 将j入队

}

}

若存在环，环上所有点的入度都不为0，环上所有点都无法入队。

//主函数
//主函数输入所有边时要更新入度
for (int i = 0;i < m;i++) {int a, b;cin >> a >> b;add(a, b);d[b]++;//更新入度}
//拓扑序函数
bool topsort() {int hh = 0, tt = -1;for (int i = 1;i <= n;i++) {//将所有入度为0的点入队if (!d[i])q[++tt] = i;}while (hh <= tt) {int t = q[hh++];//取队头for (int i = h[t];i != -1;i = ne[i]) {//拓展队头int j = e[i];d[j]--;if (d[j] == 0) q[++tt] = j;}}return tt == n - 1;//判断是否所有点都进入过队列，如果tt==n-1，说明n个点全部进入过队列
}
//出队的顺序是拓扑序，答案可能不一致

例题——有向图的拓扑序

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环。

请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出-1。

若一个由图中所有点构成的序列A满足：对于图中的每条边(x, y)，x在A中都出现在y之前，则称A是该图的一个拓扑序列。

输入格式
第一行包含两个整数n和m

接下来m行，每行包含两个整数x和y，表示存在一条从点x到点y的有向边(x, y)。

输出格式
共一行，如果存在拓扑序列，则输出拓扑序列。

否则输出-1

数据范围

1≤n,m≤10^5

输入样例

3 3

1 2

2 3

1 3

输出样例

1 2 3

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int q[N], d[N];//q是队列，d是入度
void add(int a, int b) {e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx++;
}
bool topsort() {int hh = 0, tt = -1;for (int i = 1;i <= n;i++) {if (!d[i])q[++tt] = i;}while (hh <= tt) {int t = q[hh++];for (int i = h[t];i != -1;i = ne[i]) {int j = e[i];d[j]--;if (d[j] == 0) q[++tt] = j;}}return tt == n - 1;//判断是否所有点都进入过队列，如果tt==n-1，说明n个点全部进入过队列
}
int main() {cin >> n >> m;memset(h, -1, sizeof h);for (int i = 0;i < m;i++) {int a, b;cin >> a >> b;add(a, b);d[b]++;//更新入度}if (topsort()) {for (int i = 0;i < n;i++)printf("%d ", q[i]);puts("");}else puts("-1");
}