电磁兼容EMC理论基础汇总

0. 序言

1. EMC的基础介绍

1.1 EMC电磁兼容的定义

1.2 EMC的重要性

1.3 EMC的三要素

2. 库仑定律

3. 趋肤效应与趋肤深度

4. 电阻抗公式

4.1 电阻

4.2 容抗

4.3 感抗

4.4 电路元件的非理想性

5. 麦克斯韦方程组

5.1 高斯磁定律

5.2 高斯定律

5.3 法拉第感应定律

5.4 麦克斯韦-安培定律

5.5 波动方程

6. 傅里叶变换

6.1 时域分析与频域分析

6.2 傅里叶变换公式

0. 序言

深度学习是我的爱好，而电动车动力总成设计是我的工作，因此最近准备在深度学习领域外，开通一个新的专栏【电动车动力技术】。初步构思是前期介绍电动车动力电池、电驱、开关半导体等偏硬件方面的内容，后续如果有一定技术累计也会再加入嵌入式系统、软件等相关内容（野心实在太大），这个专栏的目的有二：

系统地介绍电动车动力总成相关技术内容，帮助大家以及我自己学习这个领域的专业知识；
记录工作中的技术积累，以及一些经验之谈，和大家进行技术交流。

提到电动车人们第一印象往往是电池、电机、充电桩这些，而这个专栏的首篇文章却是介绍EMC的。这一来是因为最近经历了一系列的EMC问题，迫使我系统地复习了以前大学的知识以及学习了EMC相关理论，二来而这些基础理论的学习对掌握电动动力总成来说都是十分必要的前提，因此作为分享及学习记录写出本文作为这个系列的首篇文章

关于EMC的介绍我想分上下两篇进行：上篇讲EMC相关的电磁学理论基础，下篇说明EMC的实际应用。

1. EMC的基础介绍

1.1 EMC电磁兼容的定义

我们经常提到的EMC实际上是由EMI和EMS两个部分构成的：

EMC: Electromagnetic Compatibility，电磁相兼容包含EMI及EMS
EMI: Electromagnetic interference，指物体本身所发射出来的电磁场对周围环境的影响
EMS: Electromagnetic susceptibility，指物体本身对周围环境所发射出的电磁场的抗干扰能力

1.2 EMC的重要性

首先我们回顾下赫兹在1888年做的证实电磁波存在的实验：使用电池对感应线圈进行充电，在由感应线圈和铜球（电容）构成的LC震荡回路中生成震荡电流，铜球（电容）间形成震荡电压。当小铜球间的电势差足够大时，会击穿空气产生电火花。而交变的电压（电流）产生电磁波，会传导到接收器上，使得接收器的间隙间也产生电火花。

随着电力及电子技术的发展，我们的生活已经离不开各种各样的电子设备，如果对EMC不加以控制，这些电子设备都会成为赫兹实验中的“小铜球”（干扰源），同时也会成为“接收器”（敏感设备），这些互相干扰会使电子设备难以正常工作。

更糟糕的是，人体也是一个“接收器”，恶劣的电磁环境也会威胁人体的健康，因此我国为加强电磁环境管理，保障公众健康，也制定了《电磁环境控制限值》（GB 8702-2014）。

1.3 EMC的三要素

EMC问题的三要素有：

干扰源：产生电磁干扰的干扰源，电压变化率 ${\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}}{}$ 或电流变化率 $\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}$ 很大的电路都是干扰源；
耦合路径：电磁干扰的传递路径，分为辐射和传导两种路径，辐射：电磁干扰以电磁波的形式通过天线（或等效天线）直接在空间中进行传递；传导：电磁干扰以耦合的方式通过现有电路进行的（非预期）传递；
敏感设备：被电磁干扰的设备，电磁干扰的被害者；

缺少三者中的任何一个，EMC问题都不会存在。这也是解决EMC问题的思路，即消除三要素中的任何一个。

EMC是一门非常注重实验的学科，现实中遇到的EMC问题往往是多因素并且互相作用导致的，非常复杂，EMC也亲切地被称为“玄学”。但正是因为这样的情况经常使工程师们过度依赖后期的整改，而忽略了其理论基础。EMC应该是被正向设计出来的，而不是整改出来的！下面说明EMC相关的理论基础

2. 库仑定律

库仑定律描述电荷之间的相互作用。库仑定律的表达式为： $F = k\frac{^{q_1q_2}}{r^2}$ ，其中F是作用于两个电荷之间的力，q1和q2是两个电荷的大小，r是它们之间的距离，k是一个恒定比例，称为库仑常数。

叠加原理是在电荷之间的相互作用中，如果存在多个电荷，它们之间的作用力大小可以通过库仑定律独立进行计算。按照迭加原理，电荷受到的作用力可以被视为其他电荷对它的单独作用力之和，即 $\vec{F} = \vec{F_1}+ \vec{F_2}+\cdot \cdot \cdot + \vec{F_n}$ 。库仑定律+叠加原理已可以解决静电学的全部问题。

3. 趋肤效应与趋肤深度

趋肤效应（Skin Effect）是指当高频电流通过导体时，电流的分布会集中在导体表面的一薄层内流动，而导体内部的大部分区域几乎没有电流。

趋肤深度（Skin Depth），则是用来描述这个集中电流的厚度或者说深度的一个物理量，定义为电流强度从表面最大值下降到初始值的1/e（约37%）处的距离。趋肤深度与频率、材料的电导率和磁导率有关。对于良导体（如铜或铝），随着频率的增加，趋肤深度会减小；而对于不良导体或者绝缘体，趋肤深度可能会较大。

计算趋肤深度的公式通常如下：

$\delta =\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$

其中：

δ 是趋肤深度
f 是电流的频率
μ 是材料的相对磁导率
σ 是材料的电导率

上述公式假设了理想条件下的导体，并且可能需要根据具体的应用情况进行修正。

趋肤效应的实际意义在于，在设计高频电路时，可以考虑采用空心导线或者镀膜导线来减小电阻损失，因为在这种情况下，大部分电流只在导线表面流动，内部的材料并不会对电流传输起到实质性的作用。此外，了解趋肤效应也有助于理解高频信号在传输线和天线系统中的行为。

4. 电阻抗公式

电阻抗（Impedance）是指电路中交流电流通过时所遇到的阻碍，包括电阻、电感、电容等元件对交流电流的阻碍和延迟作用的综合效果。

电阻抗通常用复数表示，其实部为电阻（Resistance）、虚部为电抗（Reactance），电抗由容抗和感抗构成；模值为阻抗大小，单位为Ω；相位角为阻抗的相位。它描述了电路对交流电的大小和相位的阻碍程度，是电路中交流电流和电压之间的比值。

这里必须说明下：电阻抗明明是一个单位为Ω、可以测量的、具有实际意义的物理量，为什么非要用复数表示？这是很多人难以理解，也是很多文章没有说清楚的地方！

其实答案很简单，因为复数的几何特征——可以用一个数（标量）代表一个几何点，例如对于复数z=a+bi，在复平面（横轴为实数轴，纵轴为虚数轴）中就可以代表点(a, b)。

这样，一个幅值为 $U_0$ 角频率为 $\omega$ 的正弦电压在复平面中可以表达为下图：

其代数形式表达为： $U = U_0 cos\omega t + U_0 sin\omega t \cdot i$ ，根据欧拉公式可以获得其指数形式表达为： $U = U_0 e^{i \omega t}$ （可以由泰勒展开证明 $e^{xi} = cosx + i\cdot sinx$ ，即欧拉公式），正弦电流表达同理，后续的推导会用到指数形式。

4.1 电阻

这是电阻抗中最容易理解的部分，即我们初中就学过的欧姆定律： $R = \frac{U}{I}$ ，这种阻抗对电流和电压的相位也不产生影响。

4.2 容抗

根据电容的定义公式 $Q = CU$ ，Q为电荷量、U为电压、C为电容量，两边对时间t求导得到：

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} = C\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t}$

又因为 $U = U_0 e^{i \omega t}$ ， $I=\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}$ ，可以得出：

$I = C\cdot U_0 e^{i \omega t} \cdot i \omega = CU\cdot i \omega$

最终得出容抗 $i X_C$ 为：

$iX_C= \frac{U}{I} = \frac{1}{i \omega C} = - \frac{i}{\omega C}$

4.3 感抗

根据电感的定义公式 $\Phi = LI$ ， $\Phi$ 为磁通量、L为电感量、I为电流，两边对时间t求导得到：

$\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t} = L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}$

又因为 $I = I_0 e^{i \omega t}$ ， $U = \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}$ ，可以得出：

$U = L\cdot I_0e^{i \omega t}\cdot \omega t = LI\cdot i \omega$

最终得出感抗 $i X_L$ 为：

$i X_L = \frac{U}{I} = i \omega L$

4.4 电路元件的非理想性

现实中由于寄生参数的存在，理想的纯电阻、纯电容、纯电感都是不存在的，所有的元件都会呈现电阻+电容+电感三种特性，即总的等效电阻抗为： $Z = R + i \omega L - \frac{i}{\omega C}$

寄生参数是指元件中存在的与被测元件直接耦合的参数，这些参数通常是由于被测元件与被测环境中其他元件的相互作用引起的，这些寄生参数并非元件本身的设计意图，其存在会对电路造成非预期的影响，因此不能忽略。

5. 麦克斯韦方程组

这一部分内容需要复习下高等数学中的标量场梯度、矢量场散度、矢量场旋度等内容，推荐一个视频:【nabla算子】与梯度、散度、旋度_哔哩哔哩_bilibili

遵照麦克斯韦方程组的通用写法，在下面的方程中（除了高斯磁定律），等式右边是规律的“原因”，等式左边是规律的“结果”。

5.1 高斯磁定律 $\triangledown \cdot \vec{B}=0$

B为磁感应强度，这个公式描述的是磁感应强度的散度为0，即磁场无“源”也无“汇”，这也就是我们高中所学的知识：磁力线都是闭合的曲线，不存在磁单极子；

5.2 高斯定律 $\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

又称为散度定理、高斯散度定理，D为电感应强度，D=ε0E+P，式中E是电场强度，P是极化强度，ε0是真空介电常数， $\varepsilon _0= 8.854187817 \times 10^{-12}$ F/m。对线性各向同性的电介质有D=εE，ε是电介质的绝对介电常数。ρ是电荷密度，即电荷量比体积。这个公式描述的是电感应强度的散度为电荷密度，在有正电荷的点散度为正，即电场“源”，在有负电荷的点散度为负，即电场“汇”，在电场中无“源”也无“汇”，散度为0；

5.3 法拉第感应定律 $\triangledown \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

E为电场强度，这个公式描述的是磁场的时变会产生旋转的电场，即“动磁生电”，由这个公式可以推导出我们熟知的写法 $E = n\frac{\bigtriangleup \Phi }{\bigtriangleup t}$ ，E为感生电动势，n为线圈匝数；

5.4 麦克斯韦-安培定律 $\triangledown \times \vec{H} = \vec{J_e} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

H为磁场强度（注意不是磁感应强度） $H=\frac{B}{\mu _0}-M$ 式中B是磁感应强度，M是磁化强度，μ0是真空中的磁导率， $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}$ T·m/A。H的单位是A/m，Je为传导电流， $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ 为位移电流，两者合称为全电流，这个公式描述的是电流会产生旋转的磁场。

5.5 波动方程

在无源真空中，即 $\rho = 0$ 且 $J_e = 0$ ，根据麦克斯韦方程组可以推导出：

无源区电场波动方程 $\triangledown ^2 \vec{E} - \mu _0 \varepsilon _0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$
无源区磁场波动方程 $\triangledown ^2 \vec{H} - \mu _0\varepsilon _0\frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} = 0$

最终可以推导出：

电磁波在真空中传播的速度，即光速 $C= \frac{1}{\sqrt{\mu _0 \varepsilon _0}}=3 \times 10^8$ m/s
电磁波在真空中传播的波阻抗 $Z_0 = \sqrt\frac{\mu _0}{\varepsilon _0}= 377$ Ω

推导过程有点复杂，略。有兴趣可以参考：数学物理方法 3-1.1 波动方程的导出_哔哩哔哩_bilibili

6. 傅里叶变换

6.1 时域分析与频域分析

在讲傅里叶变换之前首先需要明白为什么我们需要傅里叶变换？傅里叶变换是把函数（信号）由时域转换为频域的数学工具，电信号的分析方法可以分为时域分析和频域分析：

时域分析关注电信号随时间变化的特性，电信号是通过观察其随时间变化的方式来描述的。例如，如果我们在示波器上查看一个正弦波电信号，我们看到的是电压或电流相对于时间的变化图。这种方法直观且易于理解，特别适用于分析信号的时间特性，如上升时间、持续时间、周期性等。

然而，在很多情况下，特别是对于复杂的电信号或者需要进行系统设计和分析的时候，频域法更为重要。这是因为通过将电信号转换到频域，我们可以看到信号是由哪些频率分量构成的，以及每个分量的相对强度。这对于我们理解和处理许多类型的电信号特别有价值，因为许多电信号都是由多个频率成分叠加而成的。更具体来说，在EMC领域中频域分析会有以下作用：

滤波设计：从上面的阻抗公式可以知道，系统对电信号的阻抗和信号的（角）频率相关，通过频域分析，我们可以从理论上更好地设计和实现滤波器，以允许某些频率通过并抑制其他频率；
干扰抑制：在实际应用中，信号常常受到噪声和干扰的影响。频域分析可以帮助识别和量化这些影响，并设计有效的降噪策略；
干扰源分析：在电路系统中，不同元器件或系统往往会产生不同的特定频率的干扰，频谱分析是识别和量化干扰源的关键工具。

对于连续或离散的信号，用傅里叶变换可以将信号从时域变换到频域。得到的频域波形称为频谱。对于非周期信号，频谱是连续的；对于周期性信号，频谱是离散的。由于周期信号有限的能量分布在有限的频率上，因此周期信号的能量更集中，所以干扰作用更强。

6.2 傅里叶变换公式

设实数函数 $f(t)$ 是一个绝对可积函数，即 $\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\mathrm{d}t<\infty$ ，则它的傅里叶变换是一个函数 $\hat{f}(\omega)$ ，定义为：

$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}\mathrm{d}t$

其中 $\omega$ 是频率。函数 $\hat{f}(\omega)$ 表示了 $f(t)$ 在频率域的分布情况，即 $f(t)$ 可以表示为一系列频率的叠加。

这个突然来袭的公式估计会把很多人搞蒙，为什么傅里叶变换是这个样子的？

为了理解这个公式，无论对傅里叶变换是否熟悉，我都建议先看一下这个视频：

【官方双语】形象展示傅里叶变换_哔哩哔哩_bilibili

通过上面第5章电阻抗的讲解，我们已经理解了电阻抗使用复数表示是因为复数在复平面上的几何特征，而傅里叶变换中引入复数也是同样的理由！

$e^{-i \omega t}$ 可以转换为代数形式 $cos\omega t -sin\omega t \cdot i$ ，代表以角频率 $\omega$ 绕原点旋转，负号代表顺时针旋转。通过 $f(x)$ 与 $e^{-i \omega t}$ 的乘积把直角坐标信号转到复平面上，通过积分获得角频率为 $\omega$ 时的分量，最终获得的 $\hat{f}(\omega)$ 即为 $f(t)$ 的频谱函数。