854数据结构简答题---图

1.（2015期末）已知无环路有向图如图3.1,请在表2、表3中填写出各事件的最早发生时间、最迟发生时间、活动的最早、最迟开始时间，给出关键活动及关键路径。

从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，而把关键路径上的活动称为关键活动

拓扑排序：V1 V3 V2 V5 V4 V6 V8 V7 V9

顶点	VE（i）	VL（i）
V1	0	0
V2	6	6
V3	4	6
V4	5	8
V5	7	7
V6	7	10
V7	6+1+9=16	16
V8	6+1+7=14	14
V9	6+1+7+4=18	18

活动	E（i）	L（i）	L（i）-E（i）
a1	0	0	0
a2	0	2	2
a3	0	3	3
a4	6	6	0
a5	4	6	2
a6	5	8	3
a7	7	7	0
a8	7	7	0
a9	7	10	3
a10	16	16	0
a11	14	14	0

2.（2014真)给出判断一个有向图是否存在拓扑排序的算法:给出图-1所示有向图的拓扑序列。

依次选择入度为0的顶点输出，并且删除该顶点和这个顶点相关的所有边，重新上述过程故得到答案

1、2、3、4或者1、2、4、3

标准答案：
（1）在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出之；
（2）从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧；
重复上述两步，直至全部顶点均输出或当前图中不存在无前驱的顶点为止。若出现后面这种情况，则说明不存在拓扑排序。
所给有向图的拓扑序列：①、②、③、④ 或 ①、②、④、③

3.（2020期)

(1）简述图的深度优先遍历算法

(2）给出下图以v1为开始结点的深度优先序列和广度优先序列

4.（2020期）（1）简述拓扑排序算法 (2）给出下图的一个拓扑排序序列

5.（2020期）

(1）简述求最短路径的Dijkstra算法

(2）给出下图各点到a点的最短路径

6. 求最小生成树的Prim算法和Kruskal算法有什么特点和区别

Prim算法和Kruskal算法都是从连通图中找出最小生成树的经典算法。从策略上来说，Prim算法是直接查找，多次寻找邻边的权重最小值，而Kruskal是需要先对权重排序后查找的。

所以说，Kruskal在算法效率上是比Prim快的，因为Kruskal只需一次对权重的排序就能找到最小生成树，而Prim算法需要多次对邻边排序才能找到。

Prim算法的实现过程

首先以一个结点作为最小生成树的初始结点，然后以迭代的方式找出最小生成树中各结点权重最小的边，并加到最小生成树中。（加入之后如果产生回路了就要跳过这条边，选择下一个结点。）当所有的结点都加入到最小生成树中后，就找出了这个连通图的最小生成树。

Kruskal算法的实现过程

Kruskal算法在找最小生成树结点之前，需要对权重从小到大进行排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中，（如果加入时产生回路就跳过这条边，加入下一条边）。当所有的结点都加入到最小生成树中后，就找到了这个连通图的最小生成树。

7.（2019真）有n个人，m对朋友关系，朋友的朋友也是朋友，这样组成1个朋友圈，问怎么求有多少个朋友圈(实质就是无向图求连通分量)

题目：假如已知有n个人和m对好友关系R，若两个人是直接好友或间接好友（好友的好友是好友），则认为他们属于同一好友圈，请说明如何求出这n个人中有几个好友圈。例如：n=5,m=3,R={{1,2},{2,3},{4,5}},表示有5个人，1和2是好友，2和3是好友，4和5是好友，则1、2、3属于一个朋友圈，4、5属于另一个朋友圈，结果为两个朋友圈
深度优先遍历的次数

使用树结构描述题中问题，则其为一个典型的并查集问题：将n个人初始化形成一个含有n颗树的森林，之后根据好友关系判断两人是否属于同一集合，若不是则合并两个集合，最终得到的森林中含有的树的数目即为所求朋友圈个数。
2) 使用图结构描述题中问题：
(1) 将n个人作为图的n个结点，将m对好友关系作为图的边。
(2) 对该无向图，利用DFS或者BFS算法求解其连通分量的个数，即为所求朋友圈个数。

8.（2013真）已知加权有向图的邻接矩阵如下图所示，如需在其中一个顶点建立娱乐中心，请回答下列问题:

①利用Floyd算法（允许中转的问题）求出每对顶点的最短距离，并用矩阵表示;

②求每个顶点的偏心度;

③确定娱乐中心应选哪个顶点。

9.（2020期）

(1)简述最小生成树算法的prim算法

(2)给出下图以a为开始结点，按prim 算法过程生成的最小生成树

’

10.（2014期）Dijkstra最短路径算法是否能够给出一颗生成树?是否可以给出一颗最小生成树(MST)

Dijkstra最短路径算法能够给出一颗树。具体方法是:选择任意顶点，然后以该顶点为基准，每一次迭代可以求出一个点离该顶点的最短路径，这个最短路径就是应该保留的边，同时确保不会形成环。

Dijkstra最短路径算法每次不一定能生成最小树

chatgpt解析：
Dijkstra最短路径算法可以给出一颗生成树，但不一定能给出一颗最小生成树（MST）。
Dijkstra算法是一种用于计算单源最短路径的算法，它通过贪心策略逐步确定从起始节点到其他节点的最短路径。在每一步中，Dijkstra算法选择当前路径长度最短的节点，并更新与该节点相邻的节点的最短路径。这样，在算法执行完毕后，可以得到从起始节点到每个节点的最短路径。
当应用Dijkstra算法时，可以通过记录每个节点的前驱节点来构建一颗生成树，该生成树以起始节点为根节点，覆盖了从起始节点到所有其他节点的最短路径。这颗生成树被称为最短路径树。
然而，需要注意的是，Dijkstra算法仅适用于带有非负权重的图。对于带有负权重的图，Dijkstra算法可能无法得到正确的结果。另外，Dijkstra算法只能计算单源最短路径，而无法计算多源最短路径。
至于最小生成树（MST），它是一个无向连通图的生成树，其中包含了连接所有节点的边，并且总权重最小。Dijkstra算法并不是用于计算最小生成树的算法。常用的用于计算最小生成树的算法有Prim算法和Kruskal算法。