1. 题目链接：931. 下降路径最小和

2. 题目描述：

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

提示：

• n == matrix.length == matrix[i].length
• 1 <= n <= 100
• -100 <= matrix[i][j] <= 100

3. 解法（动态规划）：

3.1算法思路：

3.1.1 状态表示：

dp[i][j]表示：到达[i,j]位置时，所有下降路径中的最小和

3.1.2 状态转移方程：

到达 [i,j]位置可能有三种情况：

我们要的是三种情况下的最小值，然后加上矩阵在[i,j]位置

于是dp[i,j]=min(dp[i-1][j],min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j+1]))+matrix[i,j]

3.1.3 初始化

可以在最前面加上一个辅助结点，进行初始化。使用这种技巧需要注意两点：

1. 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的

2. 下标的映射关系

3. 在本题中，需要加上一行，并且加上两列。所有位置都初始化为无穷大，然后将第一行初始化为0即可

3.1.4 填表顺序

从上往下

3.1.5 返回值

注意这里不是返回dp[m][n]的值

题目要求：【只要到达最后一行】，因此这里应该返回【dp表最后一行的最小值】

3.2 C++算法代码：

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {int n=matrix.size();//创建dp表vector<vector<int>>dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));//初始化第一行for(int j=0;j<n+2;j++) dp[0][j]=0;//填表for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i-1][j-1];}}int ret=INT_MAX;for(int j=0;j<=n;j++){ret=min(ret,dp[n][j]);}//返回结果return ret; }
};