图形学初识--透视修正

文章目录

前言
正文
- 为什么需要透视矫正？
- - 1、视图坐标空间--->NDC坐标空间（透视投影）
  - - （1）直线：
    - （2）三角形：
    - 总结：
  - 2、NDC坐标空间--->屏幕坐标空间
  - 综上：
- 什么是透视矫正？
- 透视矫正如何实现？
- - 公式推导
  - 深度Depth插值探讨
  - - 什么是Depth
    - 问题描述
    - 推导
  - 总结
结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦

前言

前面章节讲解了面片剔除的内容，这一章节咱们补充一个比较关键的内容：透视矫正。主要包括：为什么？是什么？怎么做？，从这些角度考虑切入！

正文

为什么需要透视矫正？

通过前面章节三角形光栅化和重心坐标插值的学习，可以很容易计算出屏幕空间中三角形内部所有点的属性值： $\alpha f(A) + \beta f(B) +\gamma f(C)$ 。

但是我们思考一个问题：屏幕空间坐标的重心坐标插值可以代替空间中三角形的情况么？

这个问题从以下两个坐标变换阶段分析：

阶段一：视图坐标空间—>NDC坐标空间（只分析透视投影）
阶段二：NDC坐标空间—>屏幕坐标空间

1、视图坐标空间—>NDC坐标空间（透视投影）

（1）直线：

我们先来看一个逆Y轴视角看的示意图：

在这里插入图片描述

假设一条直线 $A B$ ，投影到近平面上形成 $A^{'} B^{'}$ ， $A B$ 有一个中点 $C$ 投影到近平面上为 $C^{'}$ ，那么我们很显然发现了 $C^{'}$ 不是 $A^{'} B^{'}$ 的中点。

从而可知，由于这是逆y轴看，也就说明从视图坐标空间—>NDC坐标空间的X轴坐标出现失真！类似可得，Y轴坐标也出现了失真，Z轴暂且抛开不谈。

紧接着，咱们设 $A^{'} C^{'} / A^{'} B^{'} = d^{'} ， A C / A B = d$ ，可得以下等式：
$(1-d)*f(A)\\ f(C') = d'*f(B') + (1-d')*f(A')$
容易知道： $f (A) = f (A^{'}) ， f (B) = f (B^{'})$ ，同时根据上图可知 $d! = d^{'}$ ，所以可以得到 $f (C)! = f (C^{'})$

也就是说线段 $A B$ 中间的任何点的插值计算都会出现偏差。

（2）三角形：

根据上述的直线结论，咱们将其推广到三角形的中心坐标插值计算！

已知视图坐标空间 $S_{ABC}$ ，对应的NDC坐标空间的 $S_{A'B'C'}$ ， $S_{ABC}$ 内任意一点 $P$ 对应NDC坐标空间为 $P^{'}$ ，容易得到如下等式：
$\alpha f(A) + \beta f(B) + \gamma f(C)\\ f(P') = \alpha' f(A') + \beta' f(B') + \gamma' f(C')\\$

容易知道： $f (A) = f (A^{'}) ， f (B) = f (B^{'}) ， f (C) = f (C^{'})$ ，很容易得出 $\alpha和\alpha'，\beta和\beta'，\gamma和\gamma'$ 不全相等，所以可以得到 $f (P)! = f (P^{'})$ 。

总结：

因此，我们得知视图坐标空间->NDC坐标空间，会发生失真，从而影响后续插值算法的计算，从而导致问题！

2、NDC坐标空间—>屏幕坐标空间

我们回顾以下，这个阶段总共做了两件事情：

一：XYZ坐标范围从 $[- 1, 1]$ ，变换到 $[0, 1]$
二：XY分别从 $[0, 1]$ 变换到 $0,screen\_width]$ 和 $0, screen\_height -1]$

（1）XYZ坐标范围从 $[- 1, 1]$ ，变换到 $[0, 1]$

我们很容易想到，这个事情是涉及到均匀缩放和平移，不会影响重心坐标插值等计算！如下图：

在这里插入图片描述

（2）XY分别从 $[0, 1]$ 变换到 $0,screen\_width]$ 和 $0, screen\_height -1]$

为了直观，这个事情要从两个过程考虑：

第一个过程： 1*1平行投影到一张纸上

第二个过程： 纵横统一缩放 $screen\_width/screen\_height$ 倍

如下图所示：

在这里插入图片描述

这里我们知道第二个过程不会影响重心坐标插值等计算。但是过程一不好说，所以咱们来进行分析过程一！

我们先观察直线的平行投影，如下图所示：

在这里插入图片描述

由相似三角形，很容易得到等式 $A O : BO = A^{'} O^{'} : B^{'} O^{'}$ ，因此可以知道O点在平行投影前后插值比例不变！

然后咱们看一下空间中三角形平行投影的情况，如下图所示：

在这里插入图片描述

先观察左边三角形ABC，结合之前重心坐标计算公式，可知：
$\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{S_{BCO}}{S_{BAO}} = \frac{h_c}{h_a}$
根据相似三角形可以得到：
$\frac{h_c}{h_a} = \frac{l_c}{l_a}$
所以可以得到：
$\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{l_c}{l_a}$

同理根据右边三角形，咱么可以得到：
$\frac{\alpha'}{\gamma'} = \frac{l_c'}{l_a'}$

又因为直线AC在平行投影前后，线段比例保持不变的结论: $l_a:l_c = l_a':l_c'$

所以咱们可以知道：
$\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\alpha'}{\gamma'}$
同理，咱们可得：
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}\\ \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\beta'}{\gamma'}$
所以最终得到： $\alpha:\beta:\gamma = \alpha':\beta':\gamma'$ ，又因为 $\alpha+\beta+\gamma=1且\alpha'+\beta'+\gamma'=1$ ，最终可以得到：
$\alpha = \alpha'\\ \beta = \beta'\\ \gamma = \gamma'\\$

于是我们可知平行投影的操作不会影响插值的计算！

总结：

从NDC坐标变换到屏幕空间变换的过程中，不会发生插值计算失真的现象！不需要矫正！

综上：

我们只需要修正视图空间下的重心坐标到NDC空间下的重心坐标关系即可！

什么是透视矫正？

在NDC坐标空间下，已知 $\triangle{A'B'C'}$ ，且已知三角形内某点 $O^{'}$ 的重心坐标为 $(\alpha',\beta',\gamma')$

在视图坐标空间下，已知 $\triangle{ABC}$ ，且已知三角形内某点 $O$ 的重心坐标为 $(\alpha,\beta,\gamma)$

通过上述分析可知，屏幕空间下计算的重心坐标结果和在NDC下一致。

所以问题可描述为： 通过屏幕空间下的重心坐标 $(\alpha',\beta',\gamma')$ 求真正视图坐标空间下的重心插值坐标 $(\alpha,\beta,\gamma)$

透视矫正如何实现？

公式推导

已知：视图坐标空间下 $\triangle{ABC}$ ；NDC坐标空间下 $\triangle A'B'C'$ ，中间经过投影矩阵P和透视除法两个步骤，流程如下：

在这里插入图片描述

因此，同理可得：
$\begin{pmatrix} \frac{M\vec{A} + \vec t}{w_A} \end{pmatrix}\\ B'= \begin{pmatrix} \frac{M\vec{B} + \vec t}{w_B} \end{pmatrix}\\ C'= \begin{pmatrix} \frac{M\vec{C} + \vec t}{w_C} \end{pmatrix}\\$
注意： $A^{'} 、 B^{'} 、 C^{'} 为三维向量$

假设在NDC下有一个点 $O^{'}$ ，按照重心坐标公式：
$\alpha'\vec{A'}+\beta'\vec{B'}+\gamma'\vec{C'}$

将 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 分别代入，得到如下：
$\alpha'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{A} + \vec t}{w_A} \end{pmatrix}+\beta'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{B} + \vec t}{w_B} \end{pmatrix}+\gamma'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{C} + \vec t}{w_C} \end{pmatrix}$

假设在视图坐标空间下有一个点 $O$ ，按照重心坐标公式：
$\alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}$

因为 $O^{'}$ 也是由 $O$ 经过投影变换和透视除法而来，所以类似可得：
$\begin{pmatrix} \frac{M\vec{O} + \vec t}{w_{O}} \end{pmatrix}\\$

将 $\vec O$ 带入可得：
$\begin{pmatrix} \frac{M(\alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}) + \vec t}{w_{O}} \end{pmatrix}\\$

于是咱们结合上述的 $O^{'}$ 的两个等式表达，可得：
$\begin{align} O' &= \alpha'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{A} + \vec t}{w_A} \end{pmatrix}+\beta'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{B} + \vec t}{w_B} \end{pmatrix}+\gamma'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{C} + \vec t}{w_C} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{M(\alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}) + \vec t}{w_{O}} \end{pmatrix} \end{align}$

由上述可得，适用于任何ABC取值，所以系数必须匹配相等，可得：
$\frac{\alpha'}{w_A} = \frac{\alpha}{w_O}\\ \frac{\beta'}{w_B} = \frac{\beta}{w_O}\\ \frac{\gamma'}{w_C} = \frac{\gamma}{w_O}\\$
从而，咱们就得到了：
$\alpha = \frac{\alpha'}{w_A}w_O\\ \beta = \frac{\beta'}{w_B}w_O\\ \gamma = \frac{\gamma'}{w_C}w_O\\$
这样就得到了重心坐标分别在视图坐标空间和NDC坐标空间的关系。此时就剩一个未知数 $w_O$ 。

又因为 $\alpha + \beta + \gamma = 1$ ，咱们将上述的关系式带入，可得：
$\frac{\alpha'}{w_A}w_O+\frac{\beta'}{w_B}w_O+\frac{\gamma'}{w_C}w_O = 1\\$
所以就得到：
$\frac{1}{w_O} = \frac{\alpha'}{w_A} + \frac{\beta'}{w_B} + \frac{\gamma'}{w_C}$

咱们大功告成！

于是得到矫正后的重心坐标插值公式：
$\begin{align} f(O) &= \alpha f(A) + \beta f(B) + \gamma f(C)\\ &= \frac{\alpha'}{w_A}w_O f(A') + \frac{\beta'}{w_B}w_O f(B') + \frac{\gamma'}{w_C}w_Of(C')\\ &= w_O(\frac{\alpha'}{w_A} f(A') + \frac{\beta'}{w_B} f(B') + \frac{\gamma'}{w_C}(C')) \end{align}$

深度Depth插值探讨

什么是Depth

对于某个顶点的Z值，经过视图变换、投影变换、透视触发，然后变换成NDC坐标，再经过屏幕空间变换，变成 $[0, 1]$ 范围内的值，就是Depth！

问题描述

Depth作为一个属性，能够直接用屏幕空间的重心坐标进行插值计算而来呢？

推导

我们先来考察以下，经过透视投影矩阵变换前后，z坐标和w坐标的情况：
$p_c = \begin{bmatrix} \frac{1}{aspect*\tan(fovy*0.5)}&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\tan(fovy*0.5)}&0&0\\ 0&0&-\frac{f+n}{f-n}&\frac{-2fn}{f-n}\\ 0&0&-1&0\\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\y_e\\z_e\\1 \end{pmatrix}$