半正定矩阵

在矩阵分析和线性代数中,半正定矩阵(Positive Semi-Definite Matrix,简称PSD矩阵)是一类重要的矩阵。一个矩阵被称为半正定矩阵有以下几种等价的定义和性质:

定义

一个对称矩阵 M \mathbf{M} M被称为半正定矩阵,如果对于所有的非零向量 x \mathbf{x} x,都有:

x ⊤ M x ≥ 0 \mathbf{x}^\top \mathbf{M} \mathbf{x} \geq 0 xMx0

性质

  1. 特征值:一个对称矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的,当且仅当其所有特征值都是非负的。
  2. 奇异值分解:一个矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的,当且仅当它可以表示为 M = A ⊤ A \mathbf{M} = \mathbf{A}^\top \mathbf{A} M=AA的形式,其中 A \mathbf{A} A是任意矩阵。
  3. 内积空间:在内积空间中,半正定矩阵对应的二次型不会改变向量的非负性质。

符号

符号 M ⪰ 0 \mathbf{M} \succeq 0 M0表示矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的。这意味着 M \mathbf{M} M满足上述条件。

示例

考虑一个 2 × 2 2 \times 2 2×2的对称矩阵:

M = ( 2 − 1 − 1 2 ) \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} M=(2112)

验证这个矩阵是否为半正定:

  1. 检查特征值

    计算特征方程的特征值:

det ⁡ ( M − λ I ) = 0 \det(\mathbf{M} - \lambda \mathbf{I}) = 0 det(MλI)=0

det ⁡ ( 2 − λ − 1 − 1 2 − λ ) = 0 \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = 0 det(2λ112λ)=0

计算行列式:

( 2 − λ ) 2 − ( − 1 ) 2 = 0 (2 - \lambda)^2 - (-1)^2 = 0 (2λ)2(1)2=0

λ 2 − 4 λ + 3 = 0 \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 λ24λ+3=0

解这个二次方程:

λ = 3 或 λ = 1 \lambda = 3 \quad \text{或} \quad \lambda = 1 λ=3λ=1

由于所有特征值都是非负的,因此矩阵 M \mathbf{M} M是半正定的。

  1. 检查二次型

    对于任意向量 x = ( x 1 x 2 ) \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} x=(x1x2)

x ⊤ M x = ( x 1 x 2 ) ( 2 − 1 − 1 2 ) ( x 1 x 2 ) \mathbf{x}^\top \mathbf{M} \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} xMx=(x1x2)(2112)(x1x2)

= 2 x 1 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 2 2 = 2x_1^2 - 2x_1 x_2 + 2x_2^2 =2x122x1x2+2x22

可以验证,对于任意向量 x \mathbf{x} x,这个二次型的值都是非负的。

应用

半正定矩阵在许多应用中都非常重要,包括但不限于:

  1. 优化理论:半正定矩阵在凸优化中非常重要,尤其是在二次规划问题中。
  2. 统计学:在协方差矩阵中,半正定性确保了协方差矩阵是有效的。
  3. 机器学习:在核方法中,核矩阵通常需要是半正定的,以确保其定义有效的内积空间。
  4. 控制理论:在控制系统中,半正定矩阵用于描述系统的稳定性和性能指标。

通过以上解释,希望能帮助你更好地理解半正定矩阵的概念、性质及其应用。

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