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前言

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一、并查集

1、并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)。

例如某公司今年校招共招10个人，北京招4人，河南招3人，西安招3人，10个人来自不同的学校，刚开始互相都不认识，所以每个人都是一个独立的小团体，我们给这些人进行编号：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}；然后我们使用下面的数组来存储该小集合。数组中存的-1中的1表示现在每个团体中都只有1个人，负号表示这个人就是这个团体的根结点。

毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小队一起上路，于是北京学生小分队S1={0, 6, 7, 8}，河南小分队S2={1, 4, 9}，西安小分队S3={2, 3, 5}，这时10个人就形成了3个小团体。假设三个队长由0，1，2担任。下面为集合的树形表示。

下面为S1、S2、S3集合使用数组表示。可以看到北京的队长为0，所以数组中下标为0的空间中存储了-4，4表示S1这个集合有4个人，负号表示编号为0的同学是树的根结点，即队长。而数组中下标为6，7，8的空间中存了0，这存储的是6，7，8的父结点的下标0，即表示编号为6，7，8的同学的队长为0。S2和S3集合在数组中的存储也同理。

仔细观察数组，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号。
2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数。
3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标。

在公司工作一段时间后，北京小分队中8号同学与河南小分队1号同学奇迹般的走到了一起，两个小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子。此时就相当于S1和S2集合合并了，下面为合并后集合的树形表示。

下面为集合在数组中的表示。现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合
   沿着数组表示树形关系向上一直找到根。(即：树中元素为负数的位置)
2. 查看两个元素是否属于同一个集合
   沿着数组表示的树形关系向上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在。
3. 将两个集合归并成一个集合
   将两个集合中的元素合并。
   将一个集合名称改成另一个集合的名称。
4. 集合的个数
   遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

2、并查集实现

下面我们来简单实现一个并查集。

下面实现返回元素根结点的函数。

下面再来实现合并集合的函数。

下面再来实现判断两个元素在同一集合，查看集合数的函数。这样我们就实现了一个简单的并查集。

3、并查集应用

1.省份数量

题目链接：省份数量

这个题目我们可以使用并查集来解决，即相连的城市就表示在同一个集合，这样最后只需要知道并查集中有多少集合，就知道了省份的数量。我们先将上面实现的并查集放到题目中。

然后我们创建一个并查集，遍历矩阵，并且将相连的城市作为同一个集合，进行合并。

上面我们使用到了一个并查集，那么写这个题之前就需要实现一个并查集，这样是很麻烦的，所以下面我们不使用并查集来做这一题。

2.等式方程的可满足性

题目链接：等式方程的可满足性

这个题目我们也可以使用并查集的思想来实现，我们可以创建一个可以存26个元素的数组，然后我们可以先遍历一遍数组，将相等的值放到一个集合里面，然后再遍历一遍数组，查看不相等的字符串，如果不相等的字符串也在同一个集合，那么这就是相悖的。