栈
基本概念
栈的定义
栈（Stack）：是只允许在一端进行插入或删除的线性表。首先栈是一种线性表，但限定这种线性表只能在某一端进行插入和删除操作。
栈顶（Top）：线性表允许进行插入删除的那一端。
栈底（Bottom）：固定的，不允许进行插入和删除的另一端。
空栈：不含任何元素的空表。
栈的特点
栈被称为后进先出（Last In First Out）的线性表，简称LIFO结构，最后压入栈的元素会被最先弹出
栈的常见基本操作
- push：将一个元素压入栈顶。
- pop：从栈顶弹出一个元素，并返回它。
- top：查看栈顶元素，但不移除它。
- isEmpty：检查栈是否为空。
- size：获取栈中元素的数量。
- clear：清空栈，移除所有元素
了解了栈的功能后，让我们自己实现一个栈，完成下面栈的应用：平衡括号，以及实现一个简单计算器
栈的应用
问题一：平衡符号
题目描述
在实际编程中，我们经常会嵌套使用括号，如“{}”、“[]”、“()”，如果括号太多，可能会出现括号不匹配的情况，比如“(as))”、“{(bcd})”等。现希望你们编写一个程序，判断输入的一段语句中的括号是否匹配。
注：必须使用栈来实现这一功能，栈类用链表或者数组实现。
提示
可定义一个字典dir，用于字符匹配。map是STL的一个关联容器，它提供一对一的hash。第一个可以称为关键字(key)，每个关键字只能在map中出现一次；第二个以称为该关键字的值(value)。
输入
输入字符串s，s是由{},[],()以及数字、字母组成的字符串(全都是半角字符)。
输出
若括号使用规范且匹配，输出“1”，否则输出“0”。
样例输入
4Print(abc[0]+’This is a {}’)
样例输出
1
解题思路
-
遍历输入字符串：我们从头到尾遍历输入的字符串，每次取出一个字符进行处理
-
使用栈来跟踪括号的匹配情况：我们使用栈来存储遇到的左括号，每当遇到一个右括号时，就检查栈顶的左括号是否与之匹配。如果匹配，则继续处理，如果不匹配，则括号不匹配
-
处理括号：当我们遇到左括号时，将其压入栈中；当遇到右括号时，检查栈顶的左括号是否与之匹配。如果匹配，则继续处理下一个字符；如果不匹配，则括号不匹配
-
检查栈的状态：最后，检查栈是否为空。如果为空，则表示所有左括号都有相应的右括号与之匹配，返回True；如果栈不为空，则表示某些左括号没有相应的右括号与之匹配，返回False
如上图，先将左括号“{”和“(”入栈，当遇到“)”时，弹出栈顶元素“(”，再依次入栈“[”、“(”、“{”，遇到“}”，“)”，“]”，“}”依次弹出栈顶元素进行匹配，最后判断出栈为空，则该括号匹配
代码实现
结点类
结点类包含数据以及next指针，指向下一个结点
struct Node{char data;Node* next;};
自定义栈
栈只需要一个栈顶指针head以及size用来记录栈的大小，初始化时将栈顶指针指向空指针，size置为0，析构函数中则清空栈中所有的元素，回收栈空间
class Mystack {
private:struct Node{char data;Node* next;};public:Node* head; // 栈顶指针int size; // 栈大小Mystack(){head = nullptr;size = 0;}; // 初始化空间~Mystack(){Node* q = new Node;while (head != nullptr){q = head;head = head->next;delete q;}} // 回收栈空间
}push函数
入栈操作，将一个元素压入栈顶，新节点的next指向原栈顶节点，然后更新栈顶指针head，栈的大小size+1
void push(char elem) {Node* tmp = new Node();tmp->data = elem;size = size + 1;tmp->next = head;head = tmp;};pop函数
出栈操作，删除栈顶节点，释放其内存，更新栈顶指针head，栈大小size-1
void pop() {if (head == nullptr) {return;}Node* tmp = head;head = head->next;delete tmp;size = size - 1;};Symbol_matching函数
Symbol_matching函数用于判断输入的字符串中的括号是否匹配
首先定义一个映射表map<char, char> dic，用于存储括号的匹配关系，左括号作为键，右括号作为值，然后遍历字符串的每个字符，如果当前字符是左括号，将其入栈，如果当前字符是右括号，则需进行匹配。每次匹配时，检查栈是否为空，或者栈顶左括号与当前右括号是否匹配，如果不匹配，则返回 false。 如果匹配，则将栈顶左括号出栈。 最后，判断栈是否为空，如果栈为空则表示所有左括号都有相应的右括号与之匹配，返回 true；否则返回 false
bool Symbol_matching(string str) {Mystack stack;map<char, char> dic = { {'{','}'}, {'[',']'}, {'(',')'} };for (char c : str) {if (dic.count(c)){stack.push(c);}else if (c == '}' || c == ']' || c == ')') {if (stack.size == 0 || dic[stack.head->data] != c) {return false;}else {stack.pop();}}}return stack.size == 0;
}
完整代码
#include <iostream>
#include <string>
#include <map>
using namespace std;class Mystack {
private:struct Node{char data;Node* next;};public:Node* head; //栈顶指针 int size; //栈大小Mystack(){head = nullptr;size = 0;}; //初始化空间~Mystack(){Node* q = new Node;while (head != nullptr){q = head;head = head->next;delete q;}} //回收栈空间void push(char elem) {//请完成入栈函数代码Node* tmp = new Node();tmp->data = elem;size = size + 1;tmp->next = head;head = tmp;};void pop() {if (head == nullptr) {return;}//请完成出栈函数代码Node* tmp =head;head = head->next;delete tmp;size = size - 1;};};
bool Symbol_matching(string str) {Mystack stack;map<char, char> dic = { {'{','}'}, {'[',']'}, {'(',')'} };for (char c : str) {if (dic.count(c)){stack.push(c);}else if (c == '}' || c == ']' || c == ')') {if (stack.size == 0 || dic[stack.head->data] != c) {return false;}else {stack.pop();}}}return stack.size == 0;
}int main() {string str;bool R;getline(cin, str);R = Symbol_matching(str);cout << R << endl;return 0;
}问题二：简单计算器的实现
在了解问题二的内容之前，我们先来学习一下三种表达式
表达式知识
中缀表达式
操作符以中缀形式位于运算数中间（如：3+2），是我们日常通用的算术和逻辑公式表示方法。
后缀表达式
又称逆波兰式（Reverse Polish Notation - RPN），操作符以后缀形式位于两个运算数后（如：3+2的后缀表达形式就是3 2 +）。
前缀表达式
又称波兰式（Polish Notation），操作符以前缀形式位于两个运算数前（如：3+2的前缀表达形式就是+ 3 2）
中缀表达式转后缀表达式
参考链接：《数据结构》：中缀表达式转后缀表达式 + 后缀表达式的计算-CSDN博客
从左至右依次遍历中缀表达式各个字符（需要准备一个字符栈存储操作符和括号）
1、字符为运算数 ：
直接送入后缀表达式（注：需要先分析出完整的运算数）。
2、字符为左括号 ：
直接入栈（注：左括号入栈后优先级降至最低）。
3、字符为右括号 ：
直接出栈，并将出栈字符依次送入后缀表达式，直到栈顶字符为左括号（左括号也要出栈，但不送入后缀表达式）。
总结：只要满足 栈顶为左括号 即可进行最后一次出栈。
4、字符为操作符 ：
若栈空，直接入栈。
若栈非空，判断栈顶操作符，若栈顶操作符优先级低于该操作符，该操作符入栈；否则一直出栈，并将出栈字符依次送入后缀表达式，直到栈空或栈顶操作符优先级低于该操作符，该操作符再入栈。
总结：只要满足 栈空 或者 优先级高于栈顶操作符 即可停止出栈，并将该操作符入栈。
5、重复以上步骤直至遍历完成中缀表达式，接着判断字符栈是否为空，非空则直接出栈，并将出栈字符依次送入后缀表达式。
注：中缀表达式遍历完成，栈中可能还有字符未输出，故需要判断栈空。
简单计算器题目描述
描述
编写程序，输入一个中缀表达式，最长可容纳80个字符。计算的对象为数据类型为int的正整数，能计算加、减、乘、除，允许使用括号改变优先级。
输入
输入一个中缀表达式。（字符串形式，全都是半角符号）
输出
输出中缀表达式的计算结果
样例输入
(2+3)+(2/3)+(2-3)+(2*3)
样例输出
10
解题思路
首先我们需要使用两个栈，一个存放操作数operands，一个存放运算符operators
然后遍历中缀表达式字符串读取每个字符，并结合栈来处理运算符和操作数。
1、如果是数字，则将其转换为整数，并将其压入操作数栈中。
2、如果是左括号 (，则将其压入运算符栈中。 如果是右括号 )，则执行栈内运算直到遇到匹配的左括号 (，并将结果压入操作数栈中。
3、如果是运算符 + - * /，则根据运算符的优先级决定是否进行运算，并将结果压入操作数栈中。
在遍历完所有字符后，如果运算符栈中还有运算符，则依次执行栈内运算，直到栈为空为止。
最后返回操作数栈中的唯一元素，即为中缀表达式的值
代码实现
这里我们#include<stack>，引入stack库，故不需要重新定义结点类以及栈
evaluate函数
我们定义int evaluate(int left, int right, char op) ，用来得到两个数和对应操作符的计算结果并返回
int evaluate(int left, int right, char op) {switch (op) {case '+':return left + right;case '-':return left - right;case '*':return left * right;case '/':return left / right;default:return 0;}
}precedence函数
然后我们需要定义precedence(char op)，用来判断运算符的优先级，若为乘除则返回2（即优先级最高），若为加减则返回1
int precedence(char op) {if (op == '*' || op == '/') {return 2;} else if (op == '+' || op == '-') {return 1;} else {return 0;}
}evaluateExpression函数
准备工作完成后，我们需要自定义evaluateExpression函数用来计算中缀表达式
在函数开始时，创建两个栈，一个用于存放操作数 operands，另一个用于存放运算符 operators
遍历输入的中缀表达式expr中的每个字符。每次处理表达式中的一个字符
1、处理操作数： 如果当前字符是数字，表示操作数，则将其转换为整数并压入操作数栈 operands 中。 如果当前字符是一个多位数，则继续读取后续字符直到遇到非数字字符，将其合并成一个完整的操作数。
2、处理左括号： 如果当前字符是左括号"("，则将其压入运算符栈 operators 中。
3、处理右括号： 如果当前字符是右括号")"，则执行栈内运算直到遇到匹配的左括号 (，具体操作是：弹出运算符栈顶的运算符，直到遇到左括号"("。每次弹出运算符时，同时从操作数栈中弹出两个操作数，将它们和运算符进行计算，结果压入操作数栈中。 弹出左括号"("，但不输出到结果。
4、处理运算符： 如果当前字符是运算符 + - * /，则根据其优先级和栈顶运算符的优先级进行比较：如果运算符栈为空，或者当前运算符优先级高于栈顶运算符优先级，则将当前运算符压入运算符栈中。 否则，不断地弹出运算符栈顶运算符直到满足上述条件，并将其压入操作数栈中。
在遍历完所有字符后，如果运算符栈中还有运算符，则依次执行栈内运算，直到栈为空为止
最后返回操作数栈顶的元素，即为中缀表达式的值。
int evaluateExpression(const string& expr) {stack<int> operands;stack<char> operators;for (int i = 0; i < expr.length(); i++) {char c = expr[i];if (isdigit(c)) {int num = c - '0';while (i + 1 < expr.length() && isdigit(expr[i + 1])) {num = num * 10 + (expr[i + 1] - '0');i++;}operands.push(num);} else if (c == '(') {operators.push(c);} else if (c == ')') {while (!operators.empty() && operators.top() != '(') {char op = operators.top();operators.pop();int right = operands.top();operands.pop();int left = operands.top();operands.pop();operands.push(evaluate(left, right, op));}operators.pop();} else if (c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/') {while (!operators.empty() && precedence(operators.top()) >= precedence(c)) {char op = operators.top();operators.pop();int right = operands.top();operands.pop();int left = operands.top();operands.pop();operands.push(evaluate(left, right, op));}operators.push(c);}}while (!operators.empty()) {char op = operators.top();operators.pop();int right = operands.top();operands.pop();int left = operands.top();operands.pop();operands.push(evaluate(left, right, op));
}return operands.top();
}完整代码
#include <iostream>
#include <stack>
#include <string>
#include <cctype>using namespace std;int precedence(char op) {if (op == '*' || op == '/') {return 2;} else if (op == '+' || op == '-') {return 1;} else {return 0;}
}int evaluate(int left, int right, char op) {switch (op) {case '+':return left + right;case '-':return left - right;case '*':return left * right;case '/':return left / right;default:return 0;}
}int evaluateExpression(const string& expr) {stack<int> operands;stack<char> operators;for (int i = 0; i < expr.length(); i++) {char c = expr[i];if (isdigit(c)) {int num = c - '0';while (i + 1 < expr.length() && isdigit(expr[i + 1])) {num = num * 10 + (expr[i + 1] - '0');i++;}operands.push(num);} else if (c == '(') {operators.push(c);} else if (c == ')') {while (!operators.empty() && operators.top() != '(') {char op = operators.top();operators.pop();int right = operands.top();operands.pop();int left = operands.top();operands.pop();operands.push(evaluate(left, right, op));}operators.pop();} else if (c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/') {while (!operators.empty() && precedence(operators.top()) >= precedence(c)) {char op = operators.top();operators.pop();int right = operands.top();operands.pop();int left = operands.top();operands.pop();operands.push(evaluate(left, right, op));}operators.push(c);}}while (!operators.empty()) {char op = operators.top();operators.pop();int right = operands.top();operands.pop();int left = operands.top();operands.pop();operands.push(evaluate(left, right, op));
}return operands.top();
}int main() {
string expr;
getline(cin, expr);int result = evaluateExpression(expr);
cout << result << endl;return 0;
}附录
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