经过不懈的努力， 2024年江苏省研究生数学建模竞赛B题火箭烟幕弹运用策略优化论文和代码已完成，代码为B题全部问题的代码，论文包括摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型的建立和求解（问题1模型的建立和求解、问题2模型的建立和求解、问题3模型的建立和求解、问题4模型的建立和求解）、模型的评价等等

2024年江苏省研究生数学建模竞赛ABC题论文和代码获取↓↓↓
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摘要

2024年江苏省研究生数学建模竞赛B题论文摘要如下：本研究针对现代战争中光电制导武器对重要目标的威胁，深入探讨了火箭烟幕弹的运用策略优化问题。研究通过构建一系列复杂的数学模型和优化算法，分别解决了静态单目标、静态多目标和动态多目标三种不同场景下的烟幕弹运用策略优化问题。这些模型和算法不仅考虑了烟幕的扩散过程、风力影响、导弹的飞行轨迹等多个因素，还引入了隐真示假和移动目标防护等复杂战术要求，为实际作战中的烟幕弹使用提供了科学的理论支持和决策依据。

针对问题一，本研究建立了一个多维动态烟幕优化模型。该模型使用三维高斯分布来描述烟幕的扩散过程，考虑了风力影响和时间演化。模型的目标函数旨在最大化对目标的平均遮蔽效果，同时最小化烟幕弹的使用量。为求解这个复杂的非线性优化问题，研究采用了一种混合元启发式算法，结合了粒子群优化和模拟退火算法的优势。算法中引入了自适应参数调整机制，如动态调整交叉和变异概率，以增强算法的鲁棒性和适应性。求解结果显示，最优策略使用了三个烟幕弹，其发射参数分别为（见完整版本），其中参数依次为发射仰角（弧度）、方位角（弧度）、初速度（m/s）和起爆时间（s）。这种配置反映了一个多层次、时序合理的防护策略，在不同高度和时间段提供有效遮蔽。模型的创新点在于将复杂的烟幕扩散过程与导弹轨迹预测相结合，并通过混合元启发式算法有效求解高维非线性优化问题。

问题二引入了隐真示假的要求，将问题扩展为静态多目标优化问题。研究提出了一个多目标动态烟幕优化模型（MDSOM），同时考虑最大化对真目标的遮蔽效果和最大化对假目标的暴露程度。

（后略，见完整版本）

关键词：火箭烟幕弹、运用策略优化、多目标优化、动态优化、混合元启发式算法、NSGA-II、模型预测控制、隐真示假、移动目标防护

问题重述

问题分析

2024年江苏省研究生数学建模竞赛（苏研赛）B题是关于火箭烟幕弹运用策略优化的问题。整体来看，题目要求建立数学模型来设计最优的火箭烟幕弹运用策略，包括烟幕弹的起爆点、起爆时间和最优耗弹量等。题目分为三个子问题，涉及不同的保卫目标和场景。问题的核心在于如何在给定条件下，通过合理布置烟幕来有效干扰来袭导弹，同时考虑到各种限制条件和影响因素。整体分析需要考虑导弹的飞行轨迹、烟幕的扩散和运动、目标的位置和移动等多个方面，并在此基础上进行优化设计。

问题一分析

问题一分析涉及保卫固定阵地上的一辆雷达车。这个问题的关键在于如何在雷达车周围合理布置烟幕，以有效干扰来袭导弹的探测。分析思路可以从导弹的飞行轨迹和视场角入手，计算出需要遮蔽的关键区域。然后考虑烟幕弹的发射参数和起爆时间，使得形成的烟幕能够最大程度地覆盖这些关键区域。使用的模型包括导弹飞行轨迹模型、烟幕扩散模型和视线遮蔽模型等。优化算法可以考虑使用粒子群优化或遗传算法来寻找最佳的烟幕弹发射参数。同时，需要考虑无风和有风两种情况下烟幕的运动特性，这需要引入流体力学模型来描述烟幕的运动和扩散过程。

问题二分析

问题二分析在问题一的基础上增加了隐真示假的要求。这个问题的难点在于如何在有效遮蔽真实目标的同时，尽量不遮蔽假目标。分析思路可以从烟幕的形状和位置入手，设计一种能够在真假目标之间形成合适遮蔽区域的烟幕布置方案。使用的模型包括多目标优化模型，需要同时考虑真目标的遮蔽效果和假目标的暴露程度。算法方面可以考虑使用多目标优化算法，如NSGA-II或MOEA/D，来寻找在两个目标之间的最佳平衡点。同时，需要考虑烟幕的动态变化过程，需要引入时间序列模型来描述烟幕随时间的演变，以确保在整个干扰过程中都能维持良好的隐真示假效果。

问题三分析

问题三分析将保卫目标从静态变为动态，考虑了一个由6辆任务车组成的移动车队。这个问题的复杂性在于目标的运动给烟幕布置带来的额外挑战。分析思路可以从车队的运动轨迹和导弹的相对运动入手，预测在不同时刻车队和导弹的相对位置关系。然后设计一种能够在车队移动过程中持续提供有效遮蔽的烟幕布置策略。使用的模型包括运动目标跟踪模型、动态烟幕覆盖模型等。算法方面可以考虑使用模型预测控制(MPC)或动态规划等方法，以在车队运动的整个过程中实现最优的烟幕防护效果。同时，需要考虑车队内部各车辆的相对位置和重要性，需要引入车队队形优化模型，以在有限的烟幕资源下实现对整个车队的最佳防护。

模型假设

以下是2024年江苏省研究生数学建模竞赛问题1到问题3的模型建立与求解过程中使用的主要模型假设，这些假设简化了问题，使其可以用数学方法进行处理，但同时也限制了模型的某些方面：

1. 导弹运动假设：在所有问题中，我们假设导弹以恒定速度直线飞行，初始高度为900米，这简化了导弹的运动模型，但不能完全反映实际导弹的复杂飞行轨迹和机动能力。

2. 烟幕扩散模型：我们采用了三维高斯分布模型来描述烟幕的扩散过程，这个模型假设烟幕在空间中均匀扩散，并随时间衰减，这种假设虽然简化了计算，但无法完全捕捉复杂环境下烟幕的实际行为。

3. （后略，见完整版本）

这些假设为我们提供了一个可处理的数学模型，使我们能够应用优化算法来求解问题，但在将结果应用到实际情况时，需要考虑这些假设的局限性，并根据具体情况进行适当的调整和验证。

符号说明

以下是问题1-问题3的模型建立与求解过程中使用的主要符号及其说明：

这个表格包含了模型中使用的主要符号及其含义。这些符号在建模过程中用于描述系统的各个组成部分，包括烟幕的特性、目标的运动、导弹的追踪行为以及优化目标等。

模型的建立与求解

问题一模型的建立与求解

思路分析

针对2024年江苏省研究生数学建模竞赛问题一中保卫固定阵地上一辆雷达车的情况，我们需要设计一个最优的火箭烟幕弹运用策略。这个问题的核心在于如何在给定的条件和约束下，通过合理布置烟幕来有效干扰来袭导弹的探测能力，从而保护雷达车。在进行思路分析时，我们首先需要考虑导弹的飞行轨迹和视场角，这两个因素决定了导弹在飞行过程中探测到的区域。基于这些信息，我们可以确定需要被烟幕遮蔽的关键区域。其次，我们需要分析烟幕弹的性能参数，包括其发射方式、飞行特性、起爆条件以及烟幕的形成和扩散过程。这些因素将直接影响烟幕的有效覆盖范围和持续时间。在考虑这些因素的基础上，我们需要设计一种策略，通过调整烟幕弹的发射参数（如发射角度和速度）以及起爆时间，使得形成的烟幕能够在正确的时间和位置有效遮蔽导弹的视线。同时，我们还需要考虑题目中提到的一些具体约束条件，如烟幕弹需要在距保卫目标至少100m外起爆，以及烟幕的有效干扰时间和降沉时间等。此外，无风和有风（风速为3m/s）两种情况下烟幕的运动特性也需要分别考虑，这涉及到流体力学模型的引入。综合考虑这些因素，我们可以构建一个多目标优化模型，旨在最大化烟幕对导弹的干扰效果，同时最小化所需的烟幕弹数量。

多维动态烟幕优化模型建立

基于上述思路分析，我们提出一个多维动态烟幕优化模型来解决问题一。这个模型考虑了导弹的飞行轨迹、烟幕的动态扩散过程、风力影响以及多个优化目标。首先，我们建立一个三维坐标系，以雷达车所在位置为原点，导弹初始飞行方向为x轴正方向，垂直地面向上为z轴正方向。在这个坐标系中，我们可以描述导弹的飞行轨迹、烟幕弹的发射轨迹以及烟幕的扩散过程。导弹的飞行轨迹可以用一组微分方程来描述，考虑到导弹会进行机动，我们引入一个机动模型来模拟的轨迹变化。烟幕弹的发射轨迹可以用抛物线方程来描述，其参数包括发射角度和初始速度。烟幕的扩散过程则可以用一个时变的三维高斯分布模型来描述，其中心随时间按照风力方向移动，标准差随时间增大以模拟烟幕的扩散。我们定义一个遮蔽效果函数，用于量化在任意时刻烟幕对导弹视线的遮蔽程度。这个函数考虑了烟幕的密度分布、导弹的视场角以及导弹与目标之间的相对位置关系。优化目标包括最大化整个过程中的平均遮蔽效果和最小化所需的烟幕弹数量。约束条件包括烟幕弹的起爆位置限制、烟幕的有效持续时间以及覆盖范围要求等。考虑到问题的复杂性和非线性特性，我们采用一种基于粒子群优化和模拟退火相结合的混合元启发式算法来求解这个优化问题。

模型数学公式与解释

下面详细描述多维动态烟幕优化模型的数学公式。首先，我们定义坐标系和基本参数：

$$\begin{array}{rl}& (x,y,z):\text{三维笛卡尔坐标系}\\ & t:\text{时间变量}\\ & {\mathbf{p}}_m(t)=(x_m(t),y_m(t),z_m(t)):\text{导弹在时间t的位置}\\ & {\mathbf{p}}_t=(0,0,0):\text{雷达车（目标）的位置}\\ & {\mathbf{v}}_m(t)=(v_{mx}(t),v_{my}(t),v_{mz}(t)):\text{导弹在时间t的速度}\\ & \theta :\text{导弹视场角}\\ & \mathbf{w}=(w_x,w_y,0):\text{风速向量}\end{array}$$

导弹的运动方程可以表示为：

$$\begin{array}{rl}& \frac{d{\mathbf{p}}_m(t)}{dt}={\mathbf{v}}_m(t)\\ & \frac{d{\mathbf{v}}_m(t)}{dt}={\mathbf{a}}_m(t)\end{array}$$

其中${\mathbf{a}}_m(t)$是导弹的加速度，可以根据假设的机动模型来定义。

对于每个烟幕弹i，我们定义以下参数：

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_i:\text{发射仰角}\\ & {\beta }_i:\text{发射方位角}\\ & v_{0i}:\text{初始速度}\\ & t_{bi}:\text{起爆时间}\end{array}$$

烟幕弹的运动方程可以表示为：

$$\begin{array}{rl}& x_i(t)=v_{0i}\cos {\alpha }_i\cos {\beta }_i\cdot t\\ & y_i(t)=v_{0i}\cos {\alpha }_i\sin {\beta }_i\cdot t\\ & z_i(t)=v_{0i}\sin {\alpha }_i\cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

其中g是重力加速度。

烟幕的密度分布可以用三维高斯分布来描述：

$${\rho }_i(\mathbf{p},t)=\frac{M}{(2\pi {)}^{3/2}{\sigma }_x(t){\sigma }_y(t){\sigma }_z(t)}\exp \left(-\frac{(x-x_c(t){)}^2}{2{\sigma }_x(t{)}^2}-\frac{(y-y_c(t){)}^2}{2{\sigma }_y(t{)}^2}-\frac{(z-z_c(t){)}^2}{2{\sigma }_z(t{)}^2}\right)$$

其中：（解释略）

现在我们定义遮蔽效果函数$E(t)$：（后略，见完整版本）

问题一模型的求解

为了求解问题1的多维动态烟幕优化模型，我们将使用MATLAB编写一个详细的程序。这个程序将利用MATLAB的Global Optimization Toolbox中的模拟退火函数来优化烟幕弹的发射策略。以下是部分MATLAB代码（完整代码见完整版本）：

% 问题1的烟幕优化模型求解% 设置随机数种子以确保结果可重复
rng(42);% 定义常量
global V_M H_M R_T THETA G T_MAX DT N_MAX W_X W_YV_M = 300;     % 导弹速度 (m/s)
H_M = 900;     % 导弹初始高度 (m)
R_T = 10000;   % 导弹初始径向距离 (m)
THETA = 30 * pi / 180;  % 导弹视场角 (弧度)
G = 9.8;       % 重力加速度 (m/s^2)
T_MAX = 40;    % 最大仿真时间 (s)
DT = 0.1;      % 时间步长 (s)
N_MAX = 5;     % 最大烟幕弹数量
W_X = 3;       % X方向风速 (m/s)
W_Y = 0;       % Y方向风速 (m/s)% 运行模拟退火算法
（完整代码见完整版本）
% 分析最优解
analyze_solution(x_opt);% 目标函数
function f = objective_function(x)global T_MAX DTt = 0:DT:T_MAX;E = calculate_obscuration(x, t);（完整代码见完整版本）  % 最大化遮蔽效果，最小化烟幕弹数量
end% 非线性约束
function [c, ceq] = nonlinear_constraints(x)global R_TN = sum(x(4:4:end) > 0);  % 实际使用的烟幕弹数量burst_positions = calculate_burst_positions(x);distances = sqrt(sum(burst_positions.^2, 2));c = [100 - distances];  % 起爆点距离目标至少100mceq = [];
end% 初始解
function x0 = initial_solution()global N_MAXx0 = zeros(1, N_MAX * 4);for i = 1:N_MAX（完整代码见完整版本）end
end% 计算遮蔽效果
function E = calculate_obscuration(x, t)global V_M H_M R_T THETAN = sum(x(4:4:end) > 0);  % 实际使用的烟幕弹数量E = zeros(size(t));for i = 1:length(t)missile_pos = [R_T - V_M * t(i), 0, H_M];target_pos = [0, 0, 0];los_vector = target_pos - missile_pos;los_length = norm(los_vector);los_direction = los_vector / los_length;% 计算视线上的积分num_samples = 100;sample_points = missile_pos + los_vector * ((1:num_samples) - 0.5) / num_samples;density_sum = 0;for j = 1:Nif t(i) >= x(4*j)  % 烟幕弹已经爆炸（完整代码见完整版本）endendE(i) = 1 - exp(-density_sum / num_samples);end
end% 计算烟幕密度
function rho = smoke_density(points, center, sigma)diff = points - center;r_squared = sum(diff.^2, 2);rho = exp(-r_squared / (2 * sigma^2)) / ((2*pi)^1.5 * sigma^3);
end

问题一求解结果分析

运行代码后，我们得到了以下结果：（数值表格略，见完整版本）

根据2024年江苏省研究生数学建模竞赛问题1的最优解数据，我们可以对这个火箭烟幕弹运用策略进行详细的解释和分析：

首先，这个最优解包含了三个烟幕弹的发射参数，每个烟幕弹都有其独特的发射仰角、发射方位角、初速度和起爆时间，这种差异化的配置表明优化算法试图通过不同的烟幕布置来实现最佳的整体遮蔽效果。

具体分析每个烟幕弹的参数：

第一个烟幕弹的发射仰角较小（….），这意味着它会在较低的高度释放，旨在为目标提供近距离的底层遮蔽。其发射方位角（见完整版本），表明它是向后方发射的，这是为了在导弹接近目标时形成一道防护屏障。初速度（省略）相对较高，这有助于快速形成有效的烟幕。起爆时间（42.935秒）处于中后期，这是为了在导弹接近目标的关键时刻提供保护。
（后略，见完整版本）

问题二模型的建立与求解

思路分析

在问题一的基础上，问题二引入了一个新的挑战：在对雷达车实施有效遮蔽的同时，还需尽使得位于保卫目标左前方150m处的假目标不被烟幕遮蔽。这一要求使得问题变得更加复杂，因为我们现在需要同时考虑两个相互矛盾的目标：最大化对真目标的遮蔽效果，同时最小化对假目标的遮蔽效果。这种多目标优化问题要求我们在两个目标之间寻找一个合适的平衡点，这通常会导致一系列的帕累托最优解，而不是一个单一的最优解。考虑到问题的复杂性和多目标的特性，我们选择使用多目标遗传算法（MOGA）来解决这个问题。

多目标动态烟幕优化模型建立

基于上述思路分析，我们提出一个多目标动态烟幕优化模型（Multi-objective Dynamic Smoke Screen Optimization Model，MDSOM）来解决问题二。这个模型在问题一的基础上进行了扩展，主要包括以下几个方面的改进：首先，我们在场景中加入了假目标的位置，定义为$(x_f,y_f,z_f)=(-150\cos \theta ,-150\sin \theta ,0)$，其中$\theta$是导弹与车队前进方向的夹角。其次，我们定义了两个目标函数：$f_1(x)$表示对真目标的平均遮蔽效果，$f_2(x)$表示对假目标的平均暴露程度。我们的优化目标是最大化$f_1(x)$和$f_2(x)$。在MDSOM中，我们保留了问题一中的所有约束条件，包括烟幕弹的起爆位置限制、烟幕的有效持续时间以及覆盖范围要求等。模型的决策变量仍然包括每个烟幕弹的发射角度（${\alpha }_i$和${\beta }_i$）、初始速度（$v_{0i}$）和起爆时间（$t_{bi}$）。为了更准确地模拟烟幕的扩散过程，我们引入了一个改进的烟幕扩散模型，考虑了风力的影响和烟幕密度的时间衰减。这个模型可以表示为：

$${\rho }_i(\mathbf{p},t)=\frac{M_i}{(2\pi {)}^{3/2}{\sigma }_x(t){\sigma }_y(t){\sigma }_z(t)}\exp \left(-\frac{(x-x_c(t){)}^2}{2{\sigma }_x(t{)}^2}-\frac{(y-y_c(t){)}^2}{2{\sigma }_y(t{)}^2}-\frac{(z-z_c(t){)}^2}{2{\sigma }_z(t{)}^2}\right)\cdot e^{-\lambda (t-t_{bi})}$$

其中，$M_i$是第$i$个烟幕弹的初始烟幕质量，${\sigma }_x(t)$、${\sigma }_y(t)$和${\sigma }_z(t)$是随时间变化的扩散系数，$(x_c(t),y_c(t),z_c(t))$是烟幕中心的位置，$\lambda$是烟幕密度的衰减系数。烟幕中心的运动受风力影响，可以用以下方程描述：

$$\begin{array}{rl}{x}_c(t)& =x_i(t_{bi})+v_{xi}(t-t_{bi})+\frac{1}{2}{a}_x(t-t_{bi}{)}^2+w_x(t-t_{bi})\\ y_c(t)& =y_i(t_{bi})+v_{yi}(t-t_{bi})+\frac{1}{2}{a}_y(t-t_{bi}{)}^2+w_y(t-t_{bi})\\ z_c(t)& =z_i(t_{bi})+v_{zi}(t-t_{bi})-\frac{1}{2}g(t-t_{bi}{)}^2+w_z(t-t_{bi})\end{array}$$

其中，$(x_i(t_{bi}),y_i(t_{bi}),z_i(t_{bi}))$是烟幕弹的起爆位置，$(v_{xi},v_{yi},v_{zi})$是烟幕初始速度，$(a_x,a_y,0)$是水平方向的加速度（考虑空气阻力），$g$是重力加速度，$(w_x,w_y,w_z)$是风速向量。扩散系数的变化可以用以下方程描述：(后略，见完整版本)

问题二求解结果可视化分析

运行代码后，我们可以得到一系列非支配解，每个解代表一种的烟幕弹发射策略。下面我们来分析这些结果：

3D轨迹图：这个图展示了导弹的飞行轨迹、烟幕弹的轨迹、真目标和假目标的位置。我们可以观察到烟幕弹是如何在空间中分布的，以及它们与真假目标的相对位置关系。理想情况下，我们希望看到烟幕主要集中在真目标周围，而在假目标附近较少。

根据代码求解得到的关键变量概要，我们可以对优化结果进行以下详细分析和解释：（略，见完整版本）

问题三模型的建立与求解

思路分析

问题三将我们的分析推进到了一个更复杂和动态的场景：保护一个由6辆任务车组成的移动车队。这个问题不仅融合了前两个问题中的挑战，还引入了目标移动这一新的复杂因素，使得整个问题的难度和复杂度都大幅提升。在这个场景中，我们需要考虑车队的运动、导弹的追踪，以及如何在这种动态环境中有效地部署烟幕。这个问题的核心在于如何在车队移动的过程中，通过合理布置烟幕来持续有效地干扰来袭导弹的探测，同时还要考虑到车队内部各车辆的相对位置和重要性。我们需要设计一个能够适应这种动态情况的烟幕部署策略，使得整个车队在移动过程中都能得到有效的保护。

在进行思路分析时，我们首先需要建立一个更复杂的场景模型。这个模型需要包括车队的运动轨迹、每辆车的相对位置、导弹的追踪轨迹，以及烟幕的动态扩散过程。我们需要考虑车队的平均速度（50km/h）以及导弹与车队前行方向的夹角（π/6），这些因素会直接影响到烟幕的最佳释放位置和时间。

在模型构建方面，我们需要扩展前两个问题中的模型，加入车队运动和导弹追踪的动态特性。这需要我们引入一些运动学和动力学模型，以准确描述车队和导弹的运动。同时，我们还需要改进烟幕扩散模型，使其能够更好地适应移动目标的情况。在目标函数的设计上，我们需要考虑整个过程中对车队的平均保护效果，还需要加入一些惩罚项，以避免过度使用烟幕或者影响车队的视线。（后略，见完整版本）

以下是优化过程图：

模型的评价与推广

问题1-3的模型建立与求解过程中建立的模型的优缺点及其推广如下：

问题1模型的评价与推广

优点：

1. 该模型通过考虑导弹的飞行轨迹、烟幕的扩散过程以及风力影响等多个因素，构建了一个全面的多维动态烟幕优化模型，能够较为准确地模拟实际作战环境中的复杂情况。

2. 模型采用了混合元启发式优化算法，结合了粒子群优化和模拟退火算法的优势，能够在复杂的解空间中有效搜索全局最优解，提高了求解的效率和结果的质量。

3. 该模型通过引入自适应参数调整机制，如动态调整交叉和变异概率，增强了算法的鲁棒性和适应性，使其能够更好地应对不同的问题实例。（后略，见完整版本）