不同路径|
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
解法（动态规划）
1. 状态表示：
对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。
2. 状态转移⽅程：
简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 [i, j] 位置的⽅法数，那么到达 [i, j] 位置之 前的⼀⼩步，
有两种情况：
i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。
由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就呼之欲出了： dp[i][j] = dp[i - 1]
[j] + dp[i][j - 1] 。
3. 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。
4. 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候
「从左往右」。
5. 返回值：
根据「状态表⽰」，我们要返回 dp[m][n] 的值。
class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];dp[0][1] = 1;for(int i = 1; i <= m; i++) // 从上往下每⼀⾏for(int j = 1; j <= n; j++) // 从左往右填写每⼀⾏dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];return dp[m][n];}
}不同路径||
解法（动态规划）
⼀个机器⼈位于⼀个 m x n ⽹格的左上⻆ （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器⼈每次只能向下或者向右移动⼀步。机器⼈试图达到⽹格的右下⻆（在下图中标记为
“Finish”）。
现在考虑⽹格中有障碍物。那么从左上⻆到右下⻆将会有多少条不同的路径？
⽹格中的障碍物和空位置分别⽤ 1 和 0 来表⽰。
和上题差不多，只需要注意 障碍物即可。
到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。但是， [i - 1, j] 与 [i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能到达 [i, j] 位置的，也就是说，此时的⽅法数应该是 0。由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上「有障碍物」，那么我们就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& ob) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int m = ob.size(), n = ob[0].size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));dp[0][1] = 1;for(int i = 1; i <= m; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)if(ob[i - 1][j - 1] == 0)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];return dp[m][n];}
