第421场周赛：数组的最大因子得分、

Q1、数组的最大因子得分

1、题目描述

给你一个整数数组 nums。

因子得分 定义为数组所有元素的最小公倍数（LCM）与最大公约数（GCD）的乘积。

在最多移除一个元素的情况下，返回 nums 的 最大因子得分。

注意，单个数字的 LCM 和 GCD 都是其本身，而 空数组 的因子得分为 0。

2、解题思路

为了解决这个问题，我们将使用 前缀和后缀数组 的方法，动态计算移除每个元素后的因子得分。

数学性质
1. 单个数字的 GCD 和 LCM：
  - 对于单个数字 x，其 GCD 和 LCM 都是 x，因此因子得分为 $\times x = x^2$ 。
2. 空数组的 GCD 和 LCM：
  - 空数组的 GCD 和 LCM 均为 0，因此因子得分为 0。
3. GCD 和 LCM 的计算公式：
  - 最大公约数（GCD）：gcd(a, b)。
  - 最小公倍数（LCM）：lcm(a, b) = a / gcd(a, b) * b。
前缀和后缀数组

为了高效地计算移除每个元素后的 GCD 和 LCM，我们使用前缀和后缀数组：
1. 后缀数组：
  - sufGCD[i] 表示从索引 i 到数组末尾所有元素的 GCD。
  - sufLCM[i] 表示从索引 i 到数组末尾所有元素的 LCM。
2. 前缀变量：
  - preGCD 表示从数组开头到当前索引的 GCD。
  - preLCM 表示从数组开头到当前索引的 LCM。
利用前缀和后缀信息，我们可以在 O(1) 的时间内计算移除某个元素后的剩余数组的 GCD 和 LCM。
动态更新因子得分

对于每个索引 i：
1. 计算移除元素 nums[i] 后，剩余数组的 GCD 和 LCM：
  
  $\text{remainingGCD} = \text{gcd(preGCD, sufGCD[i + 1])} $
  
  $\text{remainingLCM} = \text{lcm(preLCM, sufLCM[i + 1])}$
2. 更新最大因子得分：
  
  $\text{maxFactorScore} = \max(\text{maxFactorScore}, \text{remainingGCD} \times \text{remainingLCM})$
3. 更新前缀 GCD 和前缀 LCM。

3、代码实现

class Solution {
public:long long maxScore(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// 后缀数组:// sufGCD[i] 表示从索引 i 到末尾所有元素的 GCD// sufLCM[i] 表示从索引 i 到末尾所有元素的 LCMvector<int> sufGCD(n + 1, 0);       // 初始化为 0, 表示 GCDvector<long long> sufLCM(n + 1, 1); // 初始化为 1, 表示 LCM// 计算后缀 GCD 和后缀 LCMfor (int i = n - 1; i >= 0; i--) {sufGCD[i] = gcd(sufGCD[i + 1], nums[i]);sufLCM[i] = lcm(sufLCM[i + 1], nums[i]);}// 初始答案: 不移除任何元素时的因子得分long long maxFactorScore = static_cast<long long>(sufGCD[0]) * sufLCM[0];// 前缀变量: preGCD 和 preLCMint preGCD = 0;       // 前缀 GCD, 初始为 0long long preLCM = 1; // 前缀 LCM, 初始为 1// 枚举每个元素作为移除目标for (int i = 0; i < n; i++) {// 移除 nums[i] 后, 剩余部分的 GCD 和 LCMint remainingGCD = gcd(preGCD, sufGCD[i + 1]);long long remainingLCM = lcm(preLCM, sufLCM[i + 1]);// 更新最大因子得分maxFactorScore = max(maxFactorScore, static_cast<long long>(remainingGCD) * remainingLCM);// 更新前缀 GCD 和前缀 LCMpreGCD = gcd(preGCD, nums[i]);preLCM = lcm(preLCM, nums[i]);}return maxFactorScore;}
};