优先队列

理论知识

MinPQ（最小优先队列）是一种常见的数据结构，用于有效管理一组元素，其中最小元素可以快速被检索和删除。这种数据结构广泛应用于各种算法中，包括图算法（如 Dijkstra 的最短路径算法和 Prim 的最小生成树算法）、事件驱动的模拟、调度任务等。

MinPQ 的核心操作

MinPQ 主要支持以下几种操作：

1. 插入（Insert） - 将一个新元素添加到优先队列中。
2. 查找最小（Find Minimum） - 获取优先队列中的最小元素，但不从队列中删除它。
3. 删除最小（Delete Minimum） - 移除并返回优先队列中的最小元素。
4. 判断是否为空（IsEmpty） - 检查优先队列是否为空。
5. 大小（Size） - 返回优先队列中的元素数量。

MinPQ 的实现方式

MinPQ 可以用多种方式实现，其中最常见的是使用二叉堆（Binary Heap）结构，特别是最小堆。最小堆是一个完全二叉树，可以用数组来有效表示，具有以下性质：

• 每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
• 树是完全填满的，除了最底层，最底层从左向右填充，直到填满。

使用最小堆的优势

使用最小堆实现 MinPQ 的优势在于其操作的高效性：

• 插入操作和删除最小操作的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是队列中的元素数量。
• 查找最小操作的时间复杂度为 O(1)，因为最小元素总是位于堆的根部。

应用示例

在许多实时系统和性能要求高的环境中，MinPQ 用来保证重要任务优先处理，或确保数据的最小值可以迅速访问。例如，在网络路由算法中，需要快速找到最短的未处理路径；在模拟环境中，优先处理最早发生的事件。

总的来说，MinPQ 是一种非常实用的数据结构，通过最小堆实现可以提供高效的性能，适用于需要快速访问和删除最小元素的各种应用场景。

实验数据

tinyPQ.txt测试数据内容

P Q E - X A M - P L E -

算法流程

代码实现

import edu.princeton.cs.algs4.StdIn;
import edu.princeton.cs.algs4.StdOut;public class myMinPQ<Key extends Comparable<Key>> {private Key[] pq;private int n = 0;public myMinPQ(int initN){pq = (Key[]) new Comparable[initN+1];}public myMinPQ(){this(1);}public myMinPQ(Key[] keys){n = keys.length;pq = (Key[]) new Comparable[n+1];}private void resize(int capacity) {Key[] temp = (Key[]) new Comparable[capacity];for (int i = 1; i <= n; i++) {temp[i] = pq[i];}pq = temp;}public boolean isEmpty(){return n == 0;}public int size(){return n;}public void insert(Key v){pq[++n] = v;if (n == pq.length - 1) resize(2 * pq.length);swim(n);}public Key delMin(){Key min = pq[1];exch(1,n--);pq[n+1] = null;sink(1);if ((n > 0) && (n == (pq.length - 1) / 4)) resize(pq.length / 2);return min;}private boolean greater(int i, int j){return pq[i].compareTo(pq[j]) > 0;}private void exch(int i, int j){Key t = pq[i]; pq[i]=pq[j]; pq[j]=t;}private void swim(int k){while(k>1 && greater(k/2, k)) {exch(k/2,k);k=k/2;}}private void sink(int k){while(2*k <= n){int j = 2*k;if(j < n && greater(j, j+1)) j++;if(!greater(k,j)) break;exch(k,j);k = j;}}public static void main(String[] args) {myMinPQ<String> pq = new myMinPQ<String>();while (!StdIn.isEmpty()) {String item = StdIn.readString();if (!item.equals("-")) pq.insert(item);else if (!pq.isEmpty()) StdOut.print(pq.delMin() + " ");}StdOut.println("(" + pq.size() + " left on pq)");}
}

代码讲解

这段 Java 代码定义了一个名为 myMinPQ 的类，实现了一个最小优先队列（Min Priority Queue）。这个优先队列使用最小堆来维护元素的顺序，以确保能够快速地插入新元素并删除最小元素。下面是对这段代码各部分的详细解释：

类定义和泛型

• myMinPQ<Key extends Comparable<Key>>: 类定义使用泛型 Key，这意味着队列中的元素必须实现 Comparable 接口，使得元素之间可以比较大小。

字段

• private Key[] pq;: 存储堆元素的数组。数组从索引1开始使用，以简化父节点和子节点的索引计算。
• private int n = 0;: 表示堆中元素的数量。

构造函数

• myMinPQ(int initN): 接受一个初始容量 initN 并创建一个容量为 initN + 1 的数组。
• myMinPQ(): 无参构造函数，默认初始化容量为1。
• myMinPQ(Key[] keys): 接受一个数组 keys 并用其初始化优先队列。

方法

• resize(int capacity): 当数组容量不足以存储更多元素时，调用此方法以调整数组大小。
• isEmpty(): 检查优先队列是否为空。
• size(): 返回队列中的元素数量。
• insert(Key v): 向优先队列中插入一个新元素。使用 swim 方法确保最小堆的属性。
• delMin(): 从队列中删除并返回最小元素。使用 sink 方法调整堆以维持最小堆的属性。
• greater(int i, int j): 比较堆中索引 i 和 j 的元素大小。
• exch(int i, int j): 交换堆中索引 i 和 j 的元素。
• swim(int k): 上浮操作，调整元素位置以维持堆的顺序。
• sink(int k): 下沉操作，调整元素位置以维持堆的顺序。

主函数

• main(String[] args): 主函数从标准输入读取字符串，插入到优先队列中。如果读取到的字符串是 "-" 并且队列不为空，则删除并打印最小元素。最终打印队列中剩余元素的数量。

这个类的实现利用了二叉堆的特性，确保每次插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，从而使得操作效率较高。通过调整数组大小的方式，该实现还可以动态地调整内存使用，以适应不同的使用场景。

实验

代码编译

$ javac myMinPQ.java

代码运行

$ java myMinPQ < data\tinyPQ.txt
E A E (6 left on pq)