动态规划——子序列问题

文章目录

前言

一、动态规划思路简介

二、具体实现

1. 字符串问题

1.1 最长公共字符串

1.2.0 最长回文子串

1.2.1 最长回文子序列

2.编辑距离问题

2.1 判断子序列

2.2 编辑距离

总结

前言

上文提到动态规划的背包问题，本文继续介绍动态规划的另一种应用：子序列问题。子序列分为间断子序列与连续子序列，其中诸多问题例如最大递增子序列、最长回文串等等，都可以用动态规划的思路解决

一、动态规划思路简介

动态规划解题的关键有两步。

第一步是找出题目中量的递推关系式。动态规划的代码实现是依据递推关系展开的，找出递推关系是最关键，也是最先要处理的一件事情。

第二步是依据递推关系明确dp数组的下标含义，并进行正确的初始化。

接下来我们从一些具体问题看一下如何使用动态规划思路解决问题。

二、具体实现

1. 字符串问题

1.1 最长公共字符串

请编写一个 C 语言程序来查找两个字符串的最长公共子串（由字符串中连续的一段字符组成的字符串）

输入两个字符串str1和str2，字符串长度范围均为[0, 200)。

输出两个字符串的最长公共子串，如果不存在公共子串，则输出“没有公共子串”；如果有多个最长公共子串，则输出str1中从左至右第一个最长公共子串。

示例输入

abbbcc
accd

示例输出

cc

解题思路：先寻找有没有递推关系式。观察发现，此类最长问题，一般有 “当前位”的最长公共字符串长度等于“前一位”的最长公共字符串长度加一。

由递推关系可知，遍历数组的方向应该从前往后遍历，并有dp[i]=dp[i-1]+1，此处i表示在字符串中的位置，dp[i]表示以第i位为结尾的公共字符串长度。

具体代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main(){char a[300]={0},b[300]={0};scanf("%s%s",a+1,b+1);
//	dp[i][j]表示a的i位，b的j位相同的情况下 从前向后数公共字串的长度int dp[300][300]={0};
//初始化为0的原因在于默认字符不相等，在遍历时检测是否相等，若相等则加一int alen=strlen(a+1),blen=strlen(b+1);int maxlen=0,maxLocation=1;for(int i=1;i<=alen;i++){for(int j=1;j<=blen;j++){if(a[i]==b[j]){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;if(maxlen<dp[i][j]){maxlen=dp[i][j];maxLocation=i-maxlen+1;//找起始位置 }}}}for(int i=0;i<maxlen;i++){printf("%c",a[maxLocation+i]);}return 0;
}

1.2.0 最长回文子串

5. 最长回文子串 - 力扣（LeetCode）

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

解题思路：观察回文串规律，发现回文串有如下特征：若回文串字符数为奇数，则以第i位为中心向左右检索，如果左右边缘的字符相等，则回文串字符数加二。若回文串字符为偶数，则以第i位与第 i+1 位为中心向左右检索。

设dp1[i]与dp2[i]，前者表示在第i位向前数有多少个回文字符，dp2同理。

代码样例：

char* longestPalindrome(char* s){int dp1[1000]={0},dp2[1000]={0};int len=strlen(s);for(int i=0;i<len;i++){//dp1[i]表示对i加上中心后一半的长度while(i-dp1[i]>=0&&i+dp1[i]<len){if(s[i-dp1[i]]!=s[i+dp1[i]])break;dp1[i]++;}if(s[i]==s[i+1]&&i+1<len){while(i-dp2[i]>=0&&i+1+dp2[i]<len){if(s[i-dp2[i]]!=s[i+1+dp2[i]])break;dp2[i]++;}}}int max=2*dp1[1]-1,maxlocation=0;for(int i=0;i<len;i++){dp1[i]=2*dp1[i]-1;dp2[i]=2*dp2[i];if(max<(dp1[i]>dp2[i]?dp1[i]:dp2[i])){max=dp1[i]>dp2[i]?dp1[i]:dp2[i];maxlocation=i+1-(max+1)/2;}}char*a=(char*)malloc(1010);strncpy(a,s+maxlocation,max);a[max]=0; return a;
}

1.2.1 最长回文子序列

516. 最长回文子序列 - 力扣（LeetCode）

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

解题思路：回文数组规律一般可由中间向两边推知。故知，对于 i 到 j 的子序列而言，若s [ i ] = s [ j ] 。其最大回文子序列数必定是dp[ i +1] [ j -1 ]+2。若s [ i ]不等于s [ j ]，那么考虑加入左侧元素或右侧元素后能否使子序列数增加，即比较放入左侧元素与放入右侧元素后的最大子序列数。

if(s[left]==s[right]){dp[left][right]=dp[left+1][right-1]+2;}else{int max=dp[left+1][right]>dp[left][right-1]?dp[left+1][right]:dp[left][right-1];dp[left][right]=dp[left+1][right-1];}

在动态规划解题过程中，我们只考虑按遍历顺序下的当前步未知，前面已遍历过的dp应该已知，并不再考虑它们是怎么计算得出的。因此对遍历顺序有较强的要求。

对于dp[ i ][ j ]，i 表示左边界，j 表示右边界，dp[ i ][ j ]表示最大序列数。因为计算dp[ i ][ j ]需要

dp[ i+1][ j ] dp[ i+1 ][ j-1] dp[ i ][ j-1]，所以遍历顺序应该i递减，j递增，从而保持完备性。

示例代码：

int longestPalindromeSubseq(char* s) {int dp[1010][1010]={0};//表示从i到j的最长回文序列int len=strlen(s);for(int i=0;i<len;i++)dp[i][i]=1;for(int left=len-1;left>=0;left--){for(int right=left+1;right<len;right++){if(s[left]==s[right]){dp[left][right]=dp[left+1][right-1]+2;}else{int max=dp[left+1][right]>dp[left][right-1]?dp[left+1][right]:dp[left][right-1];dp[left][right]=max;}}}return dp[0][len-1];
}

2.编辑距离问题

2.1 判断子序列

392. 判断子序列 - 力扣（LeetCode）

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

示例1

输入：s = "abc", t = "ahbgdc"
输出：true

示例2

输入：s = "axc", t = "ahbgdc"
输出：false

解题思路：f[i][j] 存储了从位置 i 开始，字符 j + 'a' 在字符串 t 中的下一个出现位置。首先初始化 f 数组并填充，之后遍历 s 中的每个字符，在 f 数组中找到对应字符的下一个出现位置并更新。如果在任何时刻无法找到字符，返回 false，否则返回 true。

具体代码：

bool isSubsequence(char* s, char* t) {int n = strlen(s), m = strlen(t);int f[m + 1][26];memset(f, 0, sizeof(f));for (int i = 0; i < 26; i++) {f[m][i] = m;}for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {for (int j = 0; j < 26; j++) {if (t[i] == j + 'a')f[i][j] = i;elsef[i][j] = f[i + 1][j];}}int add = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (f[add][s[i] - 'a'] == m) {return false;}add = f[add][s[i] - 'a'] + 1;}return true;
}

2.2 编辑距离

72. 编辑距离 - 力扣（LeetCode）

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例1

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例2

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

解题思路：

定义一个 dp 数组，dp[i][j] 表示将 word1[0..i-1] 转换为 word2[0..j-1] 的最小编辑距离。然后初始化 dp 数组的第一行和第一列，分别代表从空字符串到其他字符串的编辑距离。

对每一对字符 (word1[i-1], word2[j-1])，如果相等，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，否则考虑三种操作（删除、插入、替换），选择最小值。

最终结果在 dp[n][m]，其中 n 和 m 分别是 word1 和 word2 的长度。

具体代码：

int minDistance(char* word1, char* word2) {int n = strlen(word1), m = strlen(word2);int dp[n+1][m+1];// 初始化边界条件for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = i;for (int j = 0; j <= m; j++) dp[0][j] = j;// 填充 dp 数组for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {int cost = (word1[i-1] == word2[j-1]) ? 0 : 1;dp[i][j] = fmin(fmin(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1), dp[i-1][j-1] + cost);}}return dp[n][m];
}