fpga系列 HDL: 竞争和冒险 01

任何一个逻辑函数都能化简为最小项的和的形式
对于 n 个变量的布尔表达式，每个变量都必须以原变量（如A）或非变量（即否定的形式A’）出现，且在每个最小项中只能出现一次。每个最小项代表一个特定的输入组合。
例：假设有两个变量 $A$ 和 $B$ ，则最小项可以表示为：

$\text{对应 } (A, B) = (0, 0)$

$\text{对应 } (A, B) = (0, 1)$

$\text{对应 } (A, B) = (1, 0)$

$\text{对应 } (A, B) = (1, 1)$

格雷码（Gray Code）是一种特殊的二进制编码，每相邻两个数之间只有一个位发生变化。格雷码的这种特性在某些应用中可以减少误差和干扰，因此被广泛用于数字电路设计、编码器、存储器地址生成、错误校验等领域。

格雷码可以循环排列，即从最大值到最小值过渡时也只有一个位变化。
n 位的格雷码可以通过以下递归方式生成：
- 0 位格雷码： $\text{G}(0) = [0]$
- 1 位格雷码： $\text{G}(1) = [0, 1]$
- n 位格雷码：将 n-1 位格雷码的所有数按顺序排列，然后将 n-1 位格雷码的所有数按逆序排列。然后在第一个排列前加 0，在第二个排列前加 1。
2 位格雷码生成过程：
- 从 1 位格雷码 $[0, 1]$ 开始。
- 正序排列：[0, 1]，在前面加 0 得到 $[00, 01]$ 。
- 逆序排列：[1, 0]，在前面加 1 得到 $[11, 10]$ 。
- 合并得出 2 位格雷码为 $[00, 01, 11, 10]$ 。
3 位格雷码生成类似：
- 正序排列：[00, 01, 11, 10]，前面加 0 得到 $[000, 001, 011, 010]$ 。
- 逆序排列：[10, 11, 01, 00]，前面加 1 得到 $[110, 111, 101, 100]$ 。
- 合并得到 3 位格雷码为 $[000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100]$ 。
二进制到格雷码的转换:一个给定的二进制数可以通过以下公式转换为格雷码：
- 对于二进制数 $B_{n-1} B_{n-2} \dots B_1 B_0$ ，相应的格雷码 $G_{n-1} G_{n-2} \dots G_1 G_0$ 可以表示为：
- $G_{n-1} = B_{n-1}$
- $G_i = B_i \oplus B_{i+1}$ （对相邻位进行异或操作）

卡诺图是一种将布尔函数的最小项排列在网格上的方法，可以更直观地找到可以合并的最小项。卡诺图中的每个方格代表一个最小项，而方格的排列顺序遵循格雷码，相邻的方格之间仅有一个变量变化。

在卡诺图中，相邻的1最小项可以合并为一个更简化的项。例如：

假设一个布尔函数 $F (A, B, C)$ 的最小项和为：

$F(A, B, C) = m_1 + m_3 + m_5 + m_7$

在这里插入图片描述

$F(A, B, C) = m_1 + m_3 + m_5 + m_7$
$F (A, B, C)$ 中任意相邻的两项可以消掉一个变量，比如 $m_1$ 和 $m_3$ 相邻, $m_1 + m_3=(A'B'C)+(A'BC)=A'(B'+B)C=A'C$
同样 $m_5 + m_7=(AB'C)+(ABC)=A'(B'+B)C=AC$
$F (A, B, C) = C$
使用卡诺图时，圈出这四个最小项，可发现，这四个最小项可以被一个2x2的方块覆盖。所以 $m_1+m_3+m_5+m_7$ 可以简化为 $C$ （因为四个相邻的最小项可以合并为一个一变量的项,且所有这些项都有 $C$ 的出现）