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                       张量分解

张量分析系列知识，详见下方链接：

张量分解(1)——初探张量

本系列文章主要参考论文：Tensor Decompositions and Applications∗

张量的概念

张量是一个多维数组。更正式地说，N向或N阶张量是N个向量空间的张量积的一个元素，每个向量空间都有自己的坐标系。张量的概念不应与物理学和工程学中的张量(如应力张量)相混淆， 后者在数学中通常被称为张量场。三阶张量有三个索引，如图所示。

简单来说：一阶张量是向量，二阶张量是矩阵，三阶或更高阶的张量称为高阶张量。

张量的表示

首先，张量的阶数是维数，也称为模式。
向量(一阶张量)用粗体小写字母表示，例如a。
矩阵(二阶张量)用粗体大写字母表示，例如A。
高阶张量(三阶或更高)用粗体欧拉字体字母表示，例如X。
标量用小写字母表示，例如，a。
向量a的第i个条目用a表示，矩阵A的元素(i,j)用a表示，三阶张量X的元素(i,j,k)用x表示。
指数的范围通常从1到其大写版本，例如，i= 1, …，I。
序列中的第n个元素用括号中的上标表示。
当索引的子集是固定的时，就会形成子数组。对于矩阵，这些是行和列。

纤维（Fibers）

纤维是矩阵行和列的高阶类似物。纤维的定义是固定除一个索引 |之外的每个索引。矩阵列是模式1光纤，矩阵行是模式2光纤。三阶张量有列、行和管纤维，分别用x:jk、xi:k和xij:表示;参见下图。当从张量中提取时，纤维总是被假定为列向量。

切片（Slices）

切片是张量的二维部分，通过固定除两个索引之外的所有索引来定义。下图显示了三阶张量X的水平切片、侧切片和正面切片，分别用Xi::、X:j:和X::k表示。