一、部分题目

2023高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 定日镜场的优化设计

构建以新能源为主体的新型电力系统，是我国实现 碳达峰 碳中和 目标的一 项重要 措施。塔式太阳能光热发电是一种低碳环保的新型清洁能源技术 [ 。

定日镜是塔式太阳能光热发电站（以下简称塔式电站）收集太阳能的基本组件 ，其 底座由 纵向转轴和水平转轴组成，平面反射镜安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，可以 控制反射镜的方位角。水平转轴的轴线与地面平行，可以控制反射镜的 俯仰 角 ，定日镜及底座 示意图见图 1 。 两转轴的交点（也是定日镜中心） 离地面的高度 称 为定日镜的安装高度。塔式 电站利用大量的定日镜组成阵列，称为定日镜场 。定日镜 将太阳光反射汇聚到 安装在 镜场中吸 收塔 顶端 上的 集热器，加热其中的导热介质，并将太阳能以热能形式储存起来 再经过热交换 实现由热能向电能的转化。 太阳光并非平行光线， 而是具有一定锥形角的 一束 锥形光线 ，因此 太阳入射光线 经 定日镜 任意 一点的反射光线 也 是一束 锥形光线 [2 。 定日镜在工作时，控制系统 根据太阳的位置实时控制定日镜的法 向，使得太阳中心 点发出的光线 经 定日镜中心 反射后 指向 集热器中心 。 集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。

二、部分论文

基于数学算法研究定日镜场的优化设计

摘要
随着科技的发展和能源的改革，塔式太阳能热发电系统以其比其它能源系统更多的优势受到了各个国家的重视和大力发展。本文针对塔式太阳能热发电系统中太阳能入射到定日镜并反射到接收器这一过程中定日镜场的利用效率以及对影响其效率的各种因素进行了分析，对如何通过定日镜场的控制策略来提高系统效率进行了具体的研究。
针对问题一，求定日镜的光学效率的难点在于阴影遮挡效率和余弦效率。第一步求阴影遮挡效率：首先建立地平坐标系中，将太阳与坐标系原点之间的连线与地平面之间的夹角称为太阳高度角。将太阳与坐标系原点之间的连线在基础平面上的投影与Y轴正向之间的夹角称为太阳方位角。然后以任意一个镜面建立镜面坐标系，借助旋转矩阵，此时光线在每个坐标系的值均可求出来，最后利用软件Matlab计算出每月21日的平均阴影遮挡效率。第二步求余弦效率：同样是建立坐标系，采用几何向量法，将余弦效率的公式转换成向量之间的计算，结合地皮坐标系中的向量求得平均余弦效率。第三步根据题目给定公式利用Matlab计算出年平均光学效率、年平均输出热功率以及单位镜面面积年平均输出热功率，分别为80％、81％、72％、85％、47MW和14kW/m2。
针对问题二，根据题设，所有定日镜的尺寸和安装高度相同，假设定日镜的尺寸和安装高度为已知量。首先根据题设约束条件定日镜场需要达到额定功率60MW，借助问题一的数学模型和求得优化目标：单位镜面面积年平均输出热功率要求最大。在约束条件和优化目标同时满足的情况下，确定每月21 日定日镜的数量和位置。利用定日镜的数量和位置可求得定日镜的分布密度，将其分布密度进一步分析找到最优解。
针对问题三，基于问题一模型的建立，EB布局下定日镜数量和镜场接收能量多,EB布局的各项性能特性均最低，因此选取EB布局。分析EB布局，在问题一地平坐标系上的xy平面上，将定日镜作为一个点，定日镜的分布以集热塔为中心，呈圆环状。镜场同一区域各环上相邻定日镜方位角和各环上的定日镜数量相等。为了优化布局，从镜场从最接近集热塔的区域第一环开始，设置相邻环定日镜径向间距恒等于当镜场环半径，增大到某一值后，对应环上定日镜开始出现阴影遮挡损失，此后以相邻环定日镜无阴影遮挡损失的最小径向间距。计算则采用遗传算法，提高算法实现效率，求得最终的结果为定日镜集中分布在集热塔东南方位。

关键词：地平坐标系；旋转矩阵；优化目标；EB布局；遗传算法

一、 问题重述

1.1 问题背景

构建以新能源为主体的新型电力系统，是我国实现“碳达峰”“碳中和”目标的一项重要措施。塔式太阳能发电是一种低碳环保的新型清洁能源技术。
定日镜是塔式太阳能光热发电站收集太阳能的基本组件，其底座由纵向转轴和水平转轴组成，平面反射镜安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，可以控制发射镜的方位角。水平转轴的轴线与地面平行，可以控制反射镜的仰俯角，定日镜及底座的模型图见图1.两转轴的交点（也是定日镜中心）离地面的高度称为定日镜的安装高度。塔式电站利用大量的定日镜组成阵列，称为定日镜场。定日镜将太阳光反射汇聚到安装在镜场中吸收塔顶端上的集热器，加热其中的导热介质，并将太阳能以热能形式储存起来，再经过热交换实现由热能向电能的转化。太阳光并非平行光线，而是具有一定锥形角的一束锥形光线（参考图2），因此太阳入射光线经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线。定日镜在工作时，控制系统根据太阳的位置实时控制定日镜的法向，使得太阳中心发出的光线经定日镜中心反射后指向集热器中心。集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。

图1 定日镜模型图 图2 太阳光锥形光线图

现计划在中心位于东经98.5°,北纬39.4°，海拔3000m，半径350m的圆形区域内建设一个圆形定日镜场。以圆形区域中心为圆点，正东方向为x轴正向，正北方向为y轴正向，垂直与地面向上方向为z轴正向建立坐标系，称为镜场坐标系。
规划的吸收塔高度为80m，集热器采用高8m、直径7m的圆柱形外表光式集热器。吸收塔周围100m范围内不安装定日镜，留出空地建造厂房，用于安装发电、储能、控制等设备。定日镜的形状为平面矩形，其上下两条边始终平行于地面这两条边之间的距离称为镜面高度，通常镜面宽度不小于镜面高度。镜面边长在2m至8m之间，安装高度在2m至6m之间，安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及地面。由于维护及清洗车辆行驶的需要，要求相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多5m以上。
为简化计算，本问题中所有“年均”指标的计算时点均为当地时间每月21日9：00、10：30、12：00、13：30、15：00。

1.2 需要解决的问题

问题一：若将吸收塔建于该圆形定日场中心，定日镜尺寸均为6m×6m。安装高度均为4m，且给定所有定日镜中心的位置（相关数据查看附件），计算该定日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率，以及单位镜面面积年平均输出热功率。其结果分别按表1和表2的格式填入表格。
问题二：按设计要求，定日镜场的额定年平均输出热功率（简称额定功率）为6MW。若所有定日镜尺寸及安装高度相同，设计出定日镜场的以下参数：吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置，使得定日镜场在达到额定功率的条件下单位镜面面积年平均输出功率最大。其结果分别按表1、2、3的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐标，定日镜尺寸，安装高度，位置坐标按模板规定的格式保存到result2.xlsx文件中。
问题三：如果定日镜尺寸可以不同，安装高度也可以不同，额定功率设置同问题2，需要重新设计定日镜场的各个参数，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率尽量大，其结果分别按表1、表2和表3的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐标、各定日镜尺寸、安装高度，位置坐标按模板规定的格式保存到result3.xlsx文件中。

二、 模型假设

1、假设所有定日镜的材料、形状、其中的导热介质等均一致。
2、假设吸收塔吸收热能的整个过程中没有障碍物的影响。
3、假设每一个定日镜所处的地面平整，海拔高度均一致。
4、假设反射前的太阳光时平行光。
5、假设整个光热发电系统没有题设之外的任何能量损耗，如热传递等。

三、 问题分析

3.1 问题一的分析

问题一首先需要对附件中的数据进行处理。附件中给出了每面定日镜的x轴和y轴坐标，我们依据此坐标可以求出他们据圆心的距离，再根据数学推导出镜面到集热器中心的距离。
其次分别对吸收塔的影子和相邻镜面之间遮挡的相互影响建立模型。本题将年均指标的计算时点均为当地时间的21日的五个时间点，利用当地时间ST可以求出太阳赤纬角和太阳时角。根据题目附录中相关公式求出太阳高度角和太阳方位角。
然后以集热塔为圆心，结合每个定日镜的坐标点，建立坐标系。太阳高度角为入射光线的方向，定日镜到吸收塔的连线为反射光线的方向。对五个时间点太阳不同的位置分别计算，得出通用遮挡面积模型。确定定日镜的四个顶点在平行光下形成的阴影位置，利用方向余弦确定这四个点。
最后根据遮挡面积模型得出阴影遮挡损失、余弦损失和集热器截断效率，进而得出光学效率和热功率。

3.2 问题二的分析

问题二是一个最优化问题。在问题一中已知：太阳高度角、太阳方位角、定日镜的投影面积、定日镜的采光面积、定日镜的年平均输出热功率。根据题目需要求解吸收塔的位置坐标、定日镜的尺寸、安装高度以及定日镜的数目和位置坐标，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。
（1）约束条件如下：
镜面高度<安装高度−80m<安装高度−80m；
镜面宽度>镜面高度>镜面高度；
镜面边长在2m至8m之间；
安装高度在2m至6m之间。
（2）先假设定日镜的尺寸和安装高度已知，需要求解每个定日镜的位置和定日镜的数目。
（3）尝试在不同的定日镜密度下，计算定日镜场的单位镜面面积年平均输出热功率，找出最优解。
以吸收塔为中心，罗列定日镜位置，选择面积最小的定日镜作为基准定日镜，计算该定日镜在所有时刻的输出热功率。得到单位镜面面积年平均输出热功率时的参数。
3.3 问题三的分析
根据题目要求，需要改进的模型包括定日镜尺寸和安装高度。需要考虑如何合理选择定日镜尺寸和安装高度以最大限度地发电，同时满足额定功率要求。
增大相邻定日镜之间的距离可以有效地降低镜场产生阴影遮挡的概率，除此之外缩小定日镜的面积也可以减少阴影遮挡的发生。但通过缩小定日镜面积来减少阴影损失的方法与电站收益最大化的原则相违背，因此只能通过优化定日镜场的布置策略并合理地布置定日镜场来减小定日镜与定日镜之间造成的阴影遮挡损失，这也是塔式光热电站定日镜场的优化布置过程中需要解决的关键问题之一。
故而这题有两个关键点：
（1）定日镜尺寸的选择：可以通过对不同尺寸的定日镜进行效率和能量收集能力的评估，选择效率高且能够收集到更多太阳能的定日镜尺寸。可以通过实验或者模拟计算来确定最佳的定日镜尺寸。
（2）安装高度的选择：可以考虑将光伏阵列安装在可调整安装高度的机架上，以便实现最佳的太阳能接收效果。通过模拟不同安装高度下的太阳能收集情况，选择能够最大限度地收集到太阳能的安装高度。

四、 符号说明

符号 说明

A

N

a

b

i

五、 模型的建立与求解

5.1 问题一模型的建立与求解

题目已知：中心位于东经98.5°，北纬39.4°，海拔3000m，半径350m。
吸收塔高度为80m，集热器采用高8m，直径7m的圆柱。镜面边长在2m至8m之间，安装高度在2m至6m之间。要求相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多5m以上。
定日镜场光学效率模型的建立是基于地平坐标系。单个定日镜场光学效率是研究镜场光学效率的基础，单个定日镜的瞬时光学效率由题目已知：

式（1）
5.1.1 阴影遮挡效率数学模型的建立与求解
阴影遮挡效率是定日场中没有被阴影遮挡的镜面面积与镜场总面积之比，由于已知定日镜的坐标及太阳高度角和方位角，因此本文采用几何投影法计算和平面方程来求阴影遮挡效率。
阴影遮挡损失主要是两部分，第一部分是相邻的定日镜互相遮挡造成的阴影损失，第二部分是塔遮挡定日镜造成的阴影损失相邻的定日镜互相遮挡造成的阴影损失。
（1）下面首先计算定日镜与定日镜相互遮挡造成的阴影损失，主要利用当前建立境面矩阵，确定基本的坐标，然后乘以旋转矩阵，最后通过第三个矩阵将平面还原，判断点是否落入镜面内。

图3 相邻镜面挡光模拟图

如上图所示，图中a和b是太阳光发散的平行入射光线，光线c是入射光线1经过镜2反射的反射光线，入射光线a经过镜2反射后落入镜1的背面，使得镜1在镜2上产生了阴影,反射光线c被镜2遮挡，造成镜2对镜1的遮挡。
求阴影挡光损失本质上是求经过镜1的任意的一条光线是否会落在镜2的镜面上，求出光线与镜2的交点坐标值，结合几何数学求得阴影区域面积。
第一步：建立镜面坐标系

图4 镜面坐标系

假设任意一条光线投影到大地坐标系上的向量为：

式（2）
图中为镜1坐标系，已知镜1中某一点 ，求经过光线落入镜2中的坐标 （假设该坐标位于镜2坐标系中），然后判断该坐标点是否位于镜2内。
假设镜面坐标系a到地面坐标系b的转换关系单位矩阵为：

三、完整word版论文和源代码（两种获取方式）

Word论文和源代码1

Word论文和源代码2