深度学习（十三）——损失函数与反向传播

一、损失函数：Loss Function

官网文档：torch.nn — PyTorch 2.0 documentation

1. Loss Function的作用

每次训练神经网络的时候都会有一个目标，也会有一个输出。目标和输出之间的误差，就是用\(Loss\) \(Function\)来衡量的。所以，误差\(Loss\)是越小越好的。
此外，我们可以根据误差\(Loss\)，指导输出\(output\)接近目标\(target\)。即我们可以以\(Loss\)为依据，不断训练神经网络，优化神经网络中各个模块，从而优化\(output\)。

\(Loss\) \(Function\)的作用：

（1）计算实际输出和目标之间的差距

（2）为我们更新输出提供一定的依据，这个提供依据的过程也叫反向传播。

2. Loss Function中的函数介绍

（1）nn.L1Loss

计算\(MAE\) (mean absolute error)，即假设输入为\(x_i\)，目标为\(y_i\)，特征数量为\(n\)。在默认情况下，\(nn.L1Loss\)通过下面公式计算误差：

\[\frac{\sum^{n}_{i=1}{|x_i-y_i|}}{n} \]

class torch.nn.L1Loss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

参数说明：

reduction：默认为 ‘mean’ ，可选_mean_和_sum_。
- 当reduction='mean'时，计算误差采用公式：
  
  \[\frac{\sum^{n}_{i=1}{|x_i-y_i|}}{n} \]
- 当reduction='sum'时，计算误差采用公式：
  
  \[\sum^{n}_{i=1}{|x_i-y_i|} \]
需要注意的是，计算的数据必须为浮点数。

代码栗子：

import torch
from torch.nn import L1Lossinput=torch.tensor([1,2,3],dtype=torch.float32)
target=torch.tensor([1,2,5],dtype=torch.float32)input=torch.reshape(input,(1,1,1,3))
target=torch.reshape(target,(1,1,1,3))loss1=L1Loss()  #reduction='mean'
loss2=L1Loss(reduction='sum')  #reduction='mean'
result1=loss1(input,target)
result2=loss2(input,target)print(result1,result2)

（2）nn.MSELoss

计算\(MSE\) (mean squared error)，即假设输入为\(x_i\)，目标为\(y_i\)，特征数量为\(n\)。在默认情况下，\(nn.MSELoss\)通过下面公式计算误差：

\[\frac{\sum^{{n}_{i=1}{(x_i-y_i)}2}}{n} \]

class torch.nn.MSELoss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

参数说明：

reduction：默认为 ‘mean’ ，可选_mean_和_sum_。
- 当reduction='mean'时，计算误差采用公式：
  
  \[\frac{\sum^{{n}_{i=1}{(x_i-y_i)}2}}{n} \]
- 当reduction='sum'时，计算误差采用公式：
  
  \[\sum^{{n}_{i=1}{(x_i-y_i)}2} \]

代码栗子：

import torch
from torch.nn import L1Loss,MSELossinput=torch.tensor([1,2,3],dtype=torch.float32)
target=torch.tensor([1,2,5],dtype=torch.float32)input=torch.reshape(input,(1,1,1,3))
target=torch.reshape(target,(1,1,1,3))loss_mse1=MSELoss()  #reduction='mean'
loss_mse2=MSELoss(reduction='sum')  #reduction='mean'
result_mse1=loss_mse1(input,target)
result_mse2=loss_mse2(input,target)print(result_mse1,result_mse2)

（3）nn.CrossEntropyLoss（交叉熵）

当训练一个分类问题的时候，假设这个分类问题有\(C\)个类别，那么有：

\[loss(x,class)=-log(\frac{exp(x[class])}{\sum_{j}exp(x[j])})=-x[class]+log(\sum_{j}exp(x[j]) \]

*注意：其中的\(log\)在数学中表示的是\(ln\)，即以10为底的对数函数

举个栗子：

我们对包含了_人、狗、猫_的图片进行分类，其标签的索引分别为_0、1、2_。这时候将一张_狗_的图片输入神经网络，即目标（\(target\)）为\(1\)（对应_狗_的标签索引）。输出结果为\([0.1,0.2,0.3]\)，该列表中的数字分别代表分类标签对应的概率。
根据上述分类结果，图片为_人_的概率更大，即\(0.3\)。对于该分类的\(Loss\) \(Function\)，我们可以通过交叉熵去计算，即：

\[x=[0.1,0.2,0.3]；x[class]=x[1]=0.2 \]

\[loss(x,class)=-0.2+log[exp(0.1)+exp(0.2)+exp(0.3)] \]

那么如何验证这个公式的合理性呢？根据上面的栗子，分类结果越准确，\(Loss\)应该越小。这条公式由两个部分组成：

\(log(\sum_{j}exp(x[j])\)：主要作用是控制或限制预测结果的概率分布。比如说，预测出来的_人、狗、猫_的概率均为_0.9_，每个结果概率都很高，这显然是不合理的。此时\(log(\sum_{j}exp(x[j])\)的值会变大，误差\(loss(x,class)\)也会随之变大。同时该指标也可以作为分类器性能评判标准。
\(-x[class]\)：在已知图片类别的情况下，预测出来对应该类别的概率\(x[class]\)越高，其预测结果误差越小。

参数说明：

Input: \((N,C)\)，其中\(N\)代表_batch_size_，\(C\)代表分类的数量(或者叫标签数量)，即数据要分成几类（或有几个标签）。
Target: \((N)\)，对于每个数据：\(0\leq{target[i]}\leq{C-1}\)

代码栗子：

仍然以上面图片分类栗子的结果为例，编写程序

import torch
from torch.nn import L1Loss,MSELoss,CrossEntropyLossx=torch.tensor([0.1,0.2,0.3])
y=torch.tensor([1])x=torch.reshape(x,(1,3))loss_cross=CrossEntropyLoss()
result_cross=loss_cross(x,y)
print(result_cross)

直接用_CIFAR 10_数据进行实战分类：

import torchvision
from torch import nn
from torch.nn import Conv2d, MaxPool2d, Flatten, Linear, Sequential
from torch.utils.data import DataLoaderdataset=torchvision.datasets.CIFAR10("./dataset",train=False,download=True,transform=torchvision.transforms.ToTensor())
dataloder=DataLoader(dataset,batch_size=1)class Demo(nn.Module):def __init__(self):super(Demo,self).__init__()self.model1=Sequential(Conv2d(3,32,5,padding=2),MaxPool2d(2),Conv2d(32, 32, 5, padding=2),MaxPool2d(2),Conv2d(32, 64, 5, padding=2),MaxPool2d(2),Flatten(),Linear(1024, 64),Linear(64, 10))def forward(self,x):x=self.model1(x)return xdemo=Demo()
loss=nn.CrossEntropyLoss()
for data in dataloder:imgs,targets=dataoutput=demo(imgs)# print(output)#[Run] 一共输出10个数据，分别代表该图像为各个标签的概率.具体如下：# tensor([[-0.0151, -0.0990, 0.0908, 0.0354, 0.0731, -0.0313, -0.0329, 0.1006,#          -0.0953, 0.0449]], grad_fn= < AddmmBackward0 >)# print(targets)#[Run] 输出该图像真实的标签，具体如下：# tensor([7])result_loss=loss(output,targets)print(result_loss)