🚀前言

为应付期末，速成数电，看到原反补码，不知道为啥计算结果仍然为补码，查了半天决定记录。

🚀 为什么要引入原反补码

因为对于数的加减运算，加法很容易但是减法很麻烦（硬件上实现），所以大佬们利用加法表示减法。下面我们来看具体如何操作：

✈️ 利用加法表示减法

我们用一个🌰来解释：

用两个 仅一位 的 十进制数 演示：7-3=7+(-3)
实际上，7+(-3) 等于 7+(10 - 3) = 14。虽然 7+(10-3) 的结果为 14，但由于只有一位，所以高位 1 舍去，结果为 4，与 7-3=4 一致。
将这个结论推广到更多位或其他进制依然适用，比如用三位表示 155-123=155+(-123)=32，同样的 155+(1000-123)=1032，高位去掉结果仍然正确。
在计算机中就是这么算的，上面的过程相当于模拟了计算机计算的过程，只不过计算机使用二进制计算，舍去高位叫 溢出。

✈️ 关于数字在计算机中的存储

上面利用 加法表示减法 的过程中用到了 减法，我们引入原反补码来解决这个问题。

在计算机中，我们利用二进制进行数字存储和计算。比如上述的例子 7-3=7+(-3)=7+(10-3) 中，我们眼中的 7-3，而在计算机眼中没有减法只有加法，所以计算机看到的是 7+(-3)。
如何区分正负数？规则：正数最高位为0，负数最高位为1。
以有符号 int 类型为例，正数的最高位为0，负数的最高位为1。

为了避免减法，引入了反码和补码：

• 反码：符号位不变，其他位按位取反。
• 补码：反码加1。

🚀 数学解释

补码运算的数学基础可以用以下公式来解释：

1. 对于正数 $(a)$：

   • 补码：直接等于原码。

2. 对于负数 $(-b)$：

   • 补码：等于 $(2^n-b)$。

在补码运算中，加法和减法通过以下方式处理：

$a+(-b)=a+(2^n-b)=(a-b+2^n)\mathrm{mod}{2}^n$

由于超出 (n) 位的部分被丢弃，最终结果在正确范围内。

🚀 为什么带上符号位计算，仍然可以算出正负数对应的补码

上面铺垫了这么多就是为了介绍这个终极问题，下面为大家解惑：

实际上，有了上面的基础，很好理解为什么符号位参与计算仍对。分为三种情况：正数与正数，负数与负数，负数与正数。但正数与正数和负数与负数不能发生溢出，这种溢出不被允许，所以只考虑正数与负数。
正数绝对值更大时，会进位到符号位，符号位再次进位溢出，然后符号位为0，结果为正数；负数绝对值更大时，不会发生溢出，符号位最后为1，结果为负数。

举例：

表示数值位有三位: a + (-b)
a = 101
b = 011
补码(-b) = 1000 - 0011 = 101
a + (-b) = a + 补码(-b) = 101 + 101 = 1010，a > b溢出到符号位，符号位进位然后结果为正
a = 011
b = 101
补码(-b) = 1000 - 0105 = 011
a + (-b) = a + 补码(-b) = 011 + 011= 110，a < b 没有溢出，符号位为1结果为负

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