机器学习 - 不均衡学习和异常点检测

第一部分：不均衡学习

1. 引言
定义与重要性
  • 不均衡数据集：指数据集中不同类别的数据数量差异很大，通常是正负样本比例严重失衡。例如，在医疗诊断中，患病患者（正样本）远少于健康患者（负样本）。
  • 重要性：在许多实际应用中，如医疗诊断、欺诈检测等，少数类样本往往代表重要的情况。忽略少数类可能导致严重后果，例如未能检测出欺诈交易。
2. 不均衡数据处理方法
重采样方法
欠采样（Under-sampling）
  • 定义：通过减少多数类样本的数量来平衡数据集。
  • 优点：减少数据量，训练速度快。
  • 缺点：可能丢失多数类的重要信息。

Python代码示例：

from imblearn.under_sampling import RandomUnderSampler
from sklearn.datasets import make_classification# 生成一个不均衡数据集
X, y = make_classification(n_samples=1000, n_features=20, n_classes=2, weights=[0.9, 0.1], random_state=42)# 欠采样
rus = RandomUnderSampler(random_state=42)
X_res, y_res = rus.fit_resample(X, y)print("原始数据集类分布:", dict(zip(*np.unique(y, return_counts=True))))
print("欠采样后类分布:", dict(zip(*np.unique(y_res, return_counts=True))))

运行结果解释：

  • 原始数据集中，正负样本比例可能为90:10。
  • 经过欠采样后，正负样本比例接近1:1，但可能丢失了多数类的重要信息。
过采样（Over-sampling）
  • 定义：通过增加少数类样本的数量来平衡数据集。
  • 优点：保留所有多数类信息。
  • 缺点：可能导致过拟合，即模型过于拟合训练数据，在新数据上表现不佳。

Python代码示例：

from imblearn.over_sampling import RandomOverSampler# 过采样
ros = RandomOverSampler(random_state=42)
X_res, y_res = ros.fit_resample(X, y)print("原始数据集类分布:", dict(zip(*np.unique(y, return_counts=True))))
print("过采样后类分布:", dict(zip(*np.unique(y_res, return_counts=True))))

运行结果解释：

  • 原始数据集中，正负样本比例可能为90:10。
  • 经过过采样后，正负样本比例接近1:1，但可能导致模型过拟合。
SMOTE（Synthetic Minority Over-sampling Technique）
  • 定义：通过生成少数类的合成样本来平衡数据集。
  • 算法原理：
    • 对于每个少数类样本，随机选择k个最近邻样本，生成新样本。
    • 公式：新样本 x new = x i + λ ⋅ ( x n n − x i ) x_{\text{new}} = x_i + \lambda \cdot (x_{nn} - x_i) xnew​=xi​+λ⋅(xnn​−xi​)
      • 其中， x i x_i xi​ 是少数类样本， x n n x_{nn} xnn​ 是k个最近邻样本之一， λ \lambda λ 是0到1之间的随机数。

Python代码示例：

from imblearn.over_sampling import SMOTE# 使用SMOTE
smote = SMOTE(random_state=42)
X_res, y_res = smote.fit_resample(X, y)print("原始数据集类分布:", dict(zip(*np.unique(y, return_counts=True))))
print("SMOTE后类分布:", dict(zip(*np.unique(y_res, return_counts=True))))

运行结果解释：

  • 原始数据集中，正负样本比例可能为90:10。
  • 经过SMOTE后，正负样本比例接近1:1，并且生成的新样本更具代表性，有助于减轻过拟合。
数据增强技术
  • 定义：通过对现有数据进行变换（如旋转、缩放等）增加样本数量，主要用于图像数据。
  • 优点：适用于图像数据，增强模型的泛化能力。
  • 缺点：需要特定领域知识。

Python代码示例：

from keras.preprocessing.image import ImageDataGenerator
import numpy as np# 假设我们有一个图像数据集
datagen = ImageDataGenerator(rotation_range=40, width_shift_range=0.2, height_shift_range=0.2, zoom_range=0.2)# 假设X_train包含我们的图像数据
X_train_augmented = datagen.flow(X_train, batch_size=32)

运行结果解释：

  • 数据增强生成了变换后的新图像数据，有助于提高模型在新图像上的性能。
3. 模型评估指标
混淆矩阵（Confusion Matrix）
  • 定义：用于评估分类模型性能的矩阵，显示了真实标签与预测标签的对比。
  • 元素：
    • True Positive (TP)：正类预测正确
    • True Negative (TN)：负类预测正确
    • False Positive (FP)：负类预测为正类
    • False Negative (FN)：正类预测为负类

Python代码示例：

from sklearn.metrics import confusion_matrix# y_true为真实标签，y_pred为预测标签
y_true = [0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1]
y_pred = [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1]
cm = confusion_matrix(y_true, y_pred)
print("混淆矩阵:\n", cm)

运行结果解释：

  • 混淆矩阵显示了模型预测的正负样本数量，帮助分析模型性能。例如，模型预测了3个真正类（TP=3）、4个真负类（TN=4）、1个假正类（FP=1）、2个假负类（FN=2）。
精确率（Precision）、召回率（Recall）与F1分数（F1 Score）
  • 定义：
    • 精确率（Precision）：预测为正类样本中实际为正类的比例。
      Precision = T P T P + F P \text{Precision} = \frac{TP}{TP + FP} Precision=TP+FPTP​
    • 召回率（Recall）：实际为正类样本中预测为正类的比例。
      Recall = T P T P + F N \text{Recall} = \frac{TP}{TP + FN} Recall=TP+FNTP​
    • F1分数（F1 Score）：精确率和召回率的调和平均值。
      F 1 = 2 ⋅ Precision ⋅ Recall Precision + Recall F1 = 2 \cdot \frac{\text{Precision} \cdot \text{Recall}}{\text{Precision} + \text{Recall}} F1=2⋅Precision+RecallPrecision⋅Recall​

Python代码示例：

from sklearn.metrics import precision_score, recall_score, f1_scoreprecision = precision_score(y_true, y_pred)
recall = recall_score(y_true, y_pred)
f1 = f1_score(y_true, y_pred)
print(f"精确率: {precision}, 召回率: {recall}, F1分数: {f1}")

运行结果解释：

  • 精确率：预测为正类的样本中，实际为正类的比例。例如，如果精确率为0.75，表示模型预测的正类样本中有75%是正确的。
  • 召回率：实际为正类的样本中，预测为正类的比例。例如，如果召回率为0.60，表示所有实际为正类的样本中有60%被正确预测为正类。
  • F1分数：综合考虑精确率和召回率的指标。如果F1分数为0.67，表示模型在平衡精确率和召回率方面表现较好。
ROC曲线与AUC
  • 定义：
    • ROC曲线（Receiver Operating Characteristic Curve）：在不同阈值下，真阳性率（TPR）对假阳性率（FPR）的绘图。
    • AUC（Area Under the Curve）：ROC曲线下的面积，表示模型的整体性能。

Python代码示例：

from sklearn.metrics import roc_curve, auc
import matplotlib.pyplot as plt# y_proba是预测为正类的概率
y_proba = [0.1, 0.4, 0.35, 0.8, 0.7, 0.6, 0.55, 0.9, 0.45, 0.3]
fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_true, y_proba)
roc_auc = auc(fpr, tpr)plt.figure()
plt.plot(fpr, tpr, color='darkorange', lw=2, label='ROC curve (area = %0.2f)' % roc_auc)
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='navy', lw=2, linestyle='--')
plt.xlabel('False Positive Rate')
plt.ylabel('True Positive Rate')
plt.title('Receiver Operating Characteristic')
plt.legend(loc="lower right")
plt.show()

运行结果解释：

  • ROC曲线显示了在不同阈值下的真阳性率和假阳性率。AUC的值越接近1，模型性能越好。如果AUC为0.85，表示模型在区分正负样本方面表现较好。
4. 不均衡学习算法
权重调整方法（Cost-sensitive Learning）
  • 定义：通过调整不同类别的权重，使模型在不均衡数据集上表现更好。通常给少数类样本分配更大的权重。
  • 公式：损失函数增加类别权重，例如：
    Weighted Loss = ∑ i = 1 N w i ⋅ L ( y i , y ^ i ) \text{Weighted Loss} = \sum_{i=1}^{N} w_i \cdot L(y_i, \hat{y}_i) Weighted Loss=i=1∑N​wi​⋅L(yi​,y^​i​)
    其中， w i w_i wi​ 是样本的权重。

Python代码示例（以Logistic回归为例）：

from sklearn.linear_model import LogisticRegressionmodel = LogisticRegression(class_weight='balanced')
model.fit(X_train, y_train)

运行结果解释：

  • 使用class_weight='balanced'时，模型会根据类别的样本数自动调整权重，使模型更好地处理不均衡数据集。
集成方法（Ensemble Methods）
Bagging和Boosting
  • 定义：通过组合多个基模型提升模型性能。
    • Bagging（Bootstrap Aggregating）：通过对数据集进行多次随机采样训练多个模型，然后平均其预测结果。
    • Boosting：通过迭代地训练多个弱分类器，每次迭代根据前一轮的错误率调整样本权重。

Python代码示例：

from sklearn.ensemble import BaggingClassifier, GradientBoostingClassifierbagging_model = BaggingClassifier()
boosting_model = GradientBoostingClassifier()
bagging_model.fit(X_train, y_train)
boosting_model.fit(X_train, y_train)

运行结果解释：

  • Bagging和Boosting可以提高模型的稳定性和准确性，尤其是在处理不均衡数据集时效果显著。
Balanced Random Forest
  • 定义：对每个决策树的训练样本进行重采样，使各类别均衡。
  • Python代码：
from imblearn.ensemble import BalancedRandomForestClassifierbrf = BalancedRandomForestClassifier()
brf.fit(X_train, y_train)

运行结果解释：

  • Balanced Random Forest通过在训练每棵树时对数据进行平衡采样，来处理不均衡数据集，提高模型的泛化能力。
EasyEnsemble
  • 定义：通过多次欠采样和集成多个分类器处理不均衡数据集。
  • Python代码：
from imblearn.ensemble import EasyEnsembleClassifieree = EasyEnsembleClassifier()
ee.fit(X_train, y_train)

运行结果解释：

  • EasyEnsemble通过多次欠采样来创建多个训练集，并训练多个分类器，最后将这些分类器的结果进行融合，提高模型在不均衡数据集上的表现。
5. 案例研究
  • 使用实际数据集（如信用卡欺诈检测）：
    • 数据预处理
    • 使用不均衡学习方法训练模型
    • 模型评估与优化

案例代码示例：

from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import classification_report# 生成一个不均衡数据集
X, y = make_classification(n_samples=10000, n_features=20, n_classes=2, weights=[0.99, 0.01], random_state=42)# 数据分割
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 使用SMOTE进行过采样
smote = SMOTE(random_state=42)
X_train_res, y_train_res = smote.fit_resample(X_train, y_train)# 训练模型
model = RandomForestClassifier(random_state=42)
model.fit(X_train_res, y_train_res)# 预测与评估
y_pred = model.predict(X_test)
print(classification_report(y_test, y_pred))

运行结果解释：

  • 使用SMOTE进行过采样后，模型在测试集上的表现得到了显著提高。分类报告中可以看到精确率、召回率和F1分数的提升。

第二部分：异常点检测

1. 引言
定义与重要性
  • 异常点检测：识别数据集中与多数数据显著不同的数据点。例如，网络流量中的异常请求或金融交易中的异常行为。
  • 重要性：在网络安全、金融监控等领域，检测异常行为有助于预防潜在威胁。
2. 异常点类型
点异常（Point Anomalies）
  • 定义：单个数据点与其他数据点显著不同。
  • 示例：网络流量中的异常请求。
语境异常（Contextual Anomalies）
  • 定义：在特定上下文中异常的数据点。
  • 示例：特定时间段内异常的温度读数。
集体异常（Collective Anomalies）
  • 定义：多个数据点组合在一起构成异常。
  • 示例：连续的异常网络流量。
3. 异常点检测方法
基于统计的方法
Z-score分析
  • 定义：基于标准分数检测异常点。标准分数衡量数据点与平均值的偏离程度。
  • 公式：
    Z = X − μ σ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} Z=σX−μ​
    其中， X X X 是数据点， μ \mu μ 是均值， σ \sigma σ 是标准差。

Python代码示例：

import numpy as npdef detect_outliers_zscore(data, threshold=3):mean = np.mean(data)std = np.std(data)z_scores = [(x - mean) / std for x in data]return np.where(np.abs(z_scores) > threshold)data = [10, 12, 14, 15, 16, 100, 18, 19, 20]
outliers = detect_outliers_zscore(data)
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。例如，数据集中的100可能被识别为异常点。
盒须图（Box Plot）
  • 定义：通过四分位数和IQR检测异常点。IQR是上四分位数和下四分位数的差值。
  • Python代码：
import matplotlib.pyplot as pltdata = [10, 12, 14, 15, 16, 100, 18, 19, 20]
plt.boxplot(data)
plt.show()

运行结果解释：

  • 盒须图中的离群点代表异常值。例如，图中的100可能被标记为异常值。
基于距离的方法
K-近邻（K-Nearest Neighbors, KNN）
  • 定义：基于与最近邻样本的距离检测异常点。
  • Python代码：
from sklearn.neighbors import LocalOutlierFactor# 假设X是您的特征数据
lof = LocalOutlierFactor(n_neighbors=20)
y_pred = lof.fit_predict(X)
outliers = np.where(y_pred == -1)
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。KNN基于数据点与其邻居的距离来检测异常点。
密度基异常点检测（DBSCAN）
  • 定义：基于样本密度检测异常点。密度较低的区域可能包含异常点。
  • Python代码：
from sklearn.cluster import DBSCANdb = DBSCAN(eps=0.5, min_samples=5).fit(X)
outliers = np.where(db.labels_ == -1)
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。DBSCAN通过检测样本的密度来识别异常点。
基于聚类的方法
K-means
  • 定义：基于样本到最近聚类中心的距离检测异常点。
  • Python代码：
from sklearn.cluster import KMeanskmeans = KMeans(n_clusters=3)
kmeans.fit(X)
distances = kmeans.transform(X).min(axis=1)
outliers = np.where(distances > np.percentile(distances, 95))
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。距离聚类中心较远的数据点可能被标记为异常点。
高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）
  • 定义：基于样本的似然值检测异常点。似然值较低的样本可能是异常点。
  • Python代码：
from sklearn.mixture import GaussianMixturegmm = GaussianMixture(n_components=3)
gmm.fit(X)
scores = gmm.score_samples(X)
outliers = np.where(scores < np.percentile(scores, 5))
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。似然值较低的数据点可能被标记为异常点。
基于机器学习的方法
一类支持向量机（One-Class SVM）
  • 定义：通过学习一个分类超平面，将正常样本与异常样本分离。
  • Python代码：
from sklearn.svm import OneClassSVMocsvm = OneClassSVM(kernel='rbf', gamma=0.001, nu=0.03)
ocsvm.fit(X_train)
y_pred = ocsvm.predict(X_test)
outliers = np.where(y_pred == -1)
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。One-Class SVM通过学习一个超平面，将正常样本与异常样本分离。
随机森林（Random Forest）
  • 定义：基于多个决策树检测异常点。通过树的结构来识别异常样本。
  • Python代码：
from sklearn.ensemble import IsolationForestiforest = IsolationForest(contamination=0.1)
iforest.fit(X)
y_pred = iforest.predict(X)
outliers = np.where(y_pred == -1)
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。Isolation Forest通过多个决策树来检测异常点。
自编码器（Autoencoders）
  • 定义：通过神经网络重构输入数据，基于重构误差检测异常点。重构误差较大的样本可能是异常点。
  • Python代码：
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers# 定义自编码器
input_dim = X.shape[1]
encoding_dim = input_dim // 2input_layer = layers.Input(shape=(input_dim,))
encoded = layers.Dense(encoding_dim, activation='relu')(input_layer)
decoded = layers.Dense(input_dim, activation='sigmoid')(encoded)autoencoder = tf.keras.Model(input_layer, decoded)
autoencoder.compile(optimizer='adam', loss='mse')# 训练自编码器
autoencoder.fit(X, X, epochs=50, batch_size=32, validation_split=0.1)# 重构误差
reconstructions = autoencoder.predict(X)
mse = np.mean(np.power(X - reconstructions, 2), axis=1)
outliers = np.where(mse > np.percentile(mse, 95))
print("异常点索引:", outliers)

运行结果解释：

  • 输出异常数据点的索引位置。重构误差较大的数据点可能被标记为异常点。

第三部分：实战项目

项目1：信用卡欺诈检测
  • 数据预处理：清洗和处理数据，处理缺失值和不均衡数据。
  • 使用不均衡学习方法训练模型：使用SMOTE进行过采样，训练随机森林模型。
  • 模型评估与优化：使用混淆矩阵、精确率、召回率和F1分数评估模型，调整参数以优化模型性能。

完整案例代码：

from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import classification_report
from imblearn.over_sampling import SMOTE# 生成一个不均衡数据集
X, y = make_classification(n_samples=10000, n_features=20, n_classes=2, weights=[0.99, 0.01], random_state=42)# 数据分割
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 使用SMOTE进行过采样
smote = SMOTE(random_state=42)
X_train_res, y_train_res = smote.fit_resample(X_train, y_train)# 训练模型
model = RandomForestClassifier(random_state=42)
model.fit(X_train_res, y_train_res)# 预测与评估
y_pred = model.predict(X_test)
print(classification_report(y_test, y_pred))

运行结果解释：

  • 使用SMOTE进行过采样后，模型在测试集上的表现得到了显著提高。分类报告中可以看到精确率、召回率和F1分数的提升。
项目2：网络入侵检测
  • 数据预处理：清洗和处理数据，处理缺失值。
  • 使用异常点检测方法训练模型：使用Isolation Forest进行异常检测。
  • 模型评估与优化：使用ROC曲线和AUC评估模型，调整参数以优化模型性能。

完整案例代码：

from sklearn.ensemble import IsolationForest
from sklearn.metrics import roc_auc_score, roc_curve
import matplotlib.pyplot as plt# 假设X, y是您的特征和标签
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 训练Isolation Forest模型
iforest = IsolationForest(contamination=0.1, random_state=42)
iforest.fit(X_train)# 预测与评估
y_pred = iforest.predict(X_test)
y_pred = [1 if x == -1 else 0 for x in y_pred]  # 将异常点标记为1，正常点标记为0# 计算AUC
roc_auc = roc_auc_score(y_test, y_pred)
print("AUC:", roc_auc)# 绘制ROC曲线
fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_test, y_pred)
plt.plot(fpr, tpr, color='blue', label='ROC curve (area = %0.2f)' % roc_auc)
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='navy', linestyle='--')
plt.xlabel('False Positive Rate')
plt.ylabel('True Positive Rate')
plt.title('Receiver Operating Characteristic')
plt.legend(loc="lower right")
plt.show()

运行结果解释：

  • 使用Isolation Forest检测异常点，计算AUC和绘制ROC曲线，评估模型性能。
项目3：设备故障预测
  • 数据预处理：清洗和处理数据，处理缺失值。
  • 使用不均衡学习和异常点检测方法训练模型：结合SMOTE和Isolation Forest进行处理。
  • 模型评估与优化：使用混淆矩阵、精确率、召回率和F1分数评估模型，调整参数以优化模型性能。

完整案例代码：

# 数据预处理和生成
X, y = make_classification(n_samples=10000, n_features=20, n_classes=2, weights=[0.99, 0.01], random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 使用SMOTE进行过采样
smote = SMOTE(random_state=42)
X_train_res, y_train_res = smote.fit_resample(X_train, y_train)# 训练Isolation Forest模型
iforest = IsolationForest(contamination=0.1, random_state=42)
iforest.fit(X_train_res)# 预测与评估
y_pred = iforest.predict(X_test)
y_pred = [1 if x == -1 else 0 for x in y_pred]  # 将异常点标记为1，正常点标记为0# 使用混淆矩阵、精确率、召回率和F1分数评估模型
print(classification_report(y_test, y_pred))

运行结果解释：

  • 使用SMOTE和Isolation Forest进行设备故障预测，通过评估报告分析模型性能。

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[蓝桥杯 2021 省 AB2] 负载均衡

[蓝桥杯 2021 省 AB2] 负载均衡

一.题目 题目描述 有 n 台计算机&#xff0c;第 i 台计算机的运算能力为 v i v_i vi​。 有一系列的任务被指派到各个计算机上&#xff0c;第 i 个任务在 a i a_i ai​ 时刻分配&#xff0c;指定计算机编号为 b i b_i bi​&#xff0c;耗时为 c i c_i ci​ 且算力消耗为…
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敏感数据的授权和传输加密解决方案

敏感数据的授权和传输加密解决方案

需求背景&#xff1a;解决敏感数据的访问授权和安全传输。 KSP密钥管理系统结合USB Key实现CA证书签发的过程可以大致分为以下几个步骤&#xff1a; 1. 生成密钥对&#xff1a; 用户首先使用USB Key生成一对密钥&#xff0c;包括公钥和私钥。公钥用于加密和验证数字签名&…
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教程来咯！如何在Windows10中设置代理IP？

教程来咯！如何在Windows10中设置代理IP？

很多用户在使用win10系统的时候&#xff0c;网络设置都是默认的&#xff0c;一般情况下代理服务器都是关闭的状态&#xff0c;而在一些特殊情况下&#xff0c;需要设置代理地址启动功能使用&#xff0c;有不少的用户不知道应该怎么进行设置添加&#xff0c;接下来就和各位用户们…
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ansible 常用运维命令

ansible 常用运维命令

文件传送 ## 传送文件 ansible all -m copy -a "src/tmp/aa.txt dest/tmp/aa.txt" -k## 文件夹传送 - hosts: alltasks:- name: Copy project files and delete extra filescopy:src: /path/to/your/project/dest: /opt/myappremote_src: yesstate: sync ansibe…
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element plus 去掉select选择框的边框，并修改右侧图标

element plus 去掉select选择框的边框，并修改右侧图标

1.去掉选择框边框 ::v-deep .el-select__wrapper{ box-shadow: none; } ::v-deep .is-hovering{ box-shadow: none !important; }2.修改选择框右侧图标 新建CaretBottom.vue文件内容&#xff1a; <template><el-icon><CaretBottom /></el-icon> <…
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逍遥散人的“痛婚”，让《光夜》玩家悄悄破防了

逍遥散人的“痛婚”，让《光夜》玩家悄悄破防了

网红博主的一场求婚&#xff0c;让《光与夜之恋》玩家破防了。 知名游戏博主逍遥散人发微博公布求婚成功&#xff0c;本来应该是一件喜事&#xff0c;但却因为求婚场景布满了《光与夜之恋》男主角之一陆沉的谷子&#xff08;周边&#xff09;&#xff0c;遭到了“6推”&#x…
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AI知识库和Agent简介及实现

AI知识库和Agent简介及实现

AI知识库和Agent简介及实现 引言 随着人工智能的发展&#xff0c;大规模预训练模型&#xff08;Large Pre-trained Models&#xff0c;简称大模型&#xff09;成为了AI领域的重要研究方向。大模型通过大量的数据训练&#xff0c;能够在各种任务中展现出强大的性能。本文将重点…
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深入解析多维数组与主对角线元素之和

深入解析多维数组与主对角线元素之和

新书上架~&#x1f447;全国包邮奥~ python实用小工具开发教程http://pythontoolsteach.com/3 欢迎关注我&#x1f446;&#xff0c;收藏下次不迷路┗|&#xff40;O′|┛ 嗷~~ 目录 一、引言&#xff1a;多维数组的奥秘 二、多维数组的基本概念 1. 定义与创建 2. 维度与形…
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