$2023山东ICPC省赛ProblemE.MathProblem$

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官方题解：E - 数学问题 - SUA Wiki

题意

首先给出五个数字：$n,k,m,a,b$；然后可以对n执行进行以下两种操作任意次：

• 选择一个整数$x(0\le x\le k)$；令$n=k\times n+x$，该操作每次花费$a$枚金币，每次选择的$x$可以不同。
• 令$n=\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor $，该操作每次花费$b$枚金币。

求将$n$变为**$m$的倍数**最少需要花费几枚金币（$0$是任何正整数的倍数）。

数据范围：

• ($1\le n\le 10^{18}$, $1\le k,m,a,b\le 10^9$)

思路

跟据两种操作，我们会发现，若执行一次操作①后，再执行一次操作②；那么这两次操作可以相互抵消，$n$的值不变。

因此我们会发现，执行完操作①之后将不再会执行操作②。

跟据题目数据范围可知，操作①和操作②之和不会超过$200$次，是比较小的。然后跟据上面的结论，我们可以暴力枚举先执行操作②的次数。

由于操作①有+x的情况，因此进行$p$次操作①后，$n$的范围为：$[k^p\times n_0,k^p\times (n_0+1)-1]$（其中$n_0$是$n$完成除法操作时的值），因此只要$n$在此区间即可停止乘法操作。

需要注意的是，在枚举的过程中，答案可能会超过long long范围，因此需要使用__int128（__int128无法直接读入和输出，只能使用快读读入）。

其实我们在计算$n$的范围时，只需要将其对$m$取模即可，因为我们只需要判断当前$n$的值距离$m$的倍数的距离即可。

标程

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
#define int long long 
#define ULL unsigned long long 
#define PII pair<int, int>
#define lowbit(x) (x & -x)
#define Mid ((l + r) >> 1)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define endl '\n'
#define fi first 
#define se secondconst int INF = 0x7fffffff;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 10; void Solved() { int n, k, m, a, b; cin >> n >> k >> m >> a >> b;if(n % m == 0) {cout << "0\n"; return;}if(k == 1) {cout << "-1\n"; return;}int res = 1e18, cost = 0;//双重循环，第一层枚举除的次数，第二层枚举乘的次数while(1) {int base = n % m, p = 1;for(int i = 0; ; i ++ ) {int d = (m - base) % m;//需要对m取模，表示距离每个m的倍数的位置// int d = m - base;// if(d == m) d = 0;if(d < p) {res = min(res, cost + i * a);break;}base = base * k % m;p = p * k;//对于x的累加不需取模}if(n == 0) break;n /= k;cost += b;}cout << res << endl;
}signed main(void) {IOSint ALL = 1; cin >> ALL;while(ALL -- ) Solved();// cout << fixed;//强制以小数形式显示// cout << setprecision(n); //保留n位小数return 0;
}