5.3.3 非加权多网格算法

在本节中，我们将介绍第四种非加权最小二乘相位解包算法。与前三种算法不同，这是一种迭代算法，是第 5.4 节介绍的加权最小二乘相位解包多网格技术的基础。本节开始将详细介绍多网格方法，包括典型多网格算法的伪代码。由于多网格算法是以递归方式自然表达的，因此伪代码将采用递归子程序。然后，我们将介绍一种求解非加权最小二乘相位解包问题的多网格算法。

在介绍多网格技术之前，我们先做一些说明，以激发其使用动机。多网格方法是一类在大网格上快速求解 PDE 的技术。这些方法基于在更粗更小的网格上应用高斯-赛德尔松弛方案的思想。多网格方法通常与基于傅立叶的直接方法一样快，只需 O(N² log N) 次运算即可求解在 N×N 网格点上离散的椭圆 PDE [22], [26]。然而，与直接方法不同的是，多网格方法可以解决更广泛的问题，包括非线性 PDEs。从实用角度来看，也许同样重要的是，多网格方法并不像大多数 FFT 和 DCT 方法那样，受限于 2 次幂网格大小。关于多网格方法的精彩介绍，读者可参阅[26]。

我们首先分析经典高斯-赛德尔弛豫方案（公式 5.38）在图 5.6 所示的无噪声非加权最小二乘相位解包问题上的收敛性。图 5.6(a)中的包裹相位数据定义在一个 200×200 像素的小网格上。在正确解包后，相位数据会产生图 5.6(b) 所示的曲面。图 5.7(a)为高斯-赛德尔法经过 10 次迭代后得到的解，图 5.7(b)为误差曲面。可以看出，高斯-赛德尔法提取了曲面的高频成分（即曲面细节），但没有提取低频成分（即曲面的平滑全局结构）。高斯-赛德尔松弛法传播曲面信息的速度非常缓慢，