452. 用最少数量的箭引爆气球

不考虑y轴，可以将其转换为重叠区间的问题。将同属于一个重叠区间的小区间合并为一个区间，加上不重叠的区间，即是所求数量。
更加简化：如果是非重叠区间才加1，因为两个大的重叠区间间肯定是非重叠的。

class Solution:def findMinArrowShots(self, points: List[List[int]]) -> int:if not points:return 0# 根据右区间排序points.sort(key=lambda x: x[1])# 结果，所需数量res = 1 # 初始化为1，这样当仅有一个区间时也能正确返回# 区间末尾end = points[0][1]# 遍历剩余区间for i in range(1, len(points)):# 如果当前区间左界超过了区间末尾，说明不重叠if points[i][0] > end:res += 1 # 结果加一end = points[i][1] # 更新区间末尾return res

1710. 卡车上的最大单元数

贪婪算法，每次优先使用最能装的箱子，也要判断箱子数和该类箱子数的大小。

class Solution:def maximumUnits(self, boxTypes: List[List[int]], truckSize: int) -> int:# 结果数res = 0# 根据单元数倒排boxTypes.sort(key=lambda x: x[1], reverse=True)# 索引i = 0# 限定循环条件while truckSize > 0 and i < len(boxTypes):# 如果说箱子数比该类箱子多，就使用全部该箱子if boxTypes[i][0] <=  truckSize:res += boxTypes[i][0] * boxTypes[i][1]truckSize -= boxTypes[i][0] # 更新箱子数# 否则，只能使用全部箱子数else:res += truckSize * boxTypes[i][1]truckSize = 0 # 更新箱子数i += 1 # 查找下一类箱子return res

494. 目标和

问题转化为0-1背包问题

题目要求我们计算通过在nums数组中的每个数字前添加+或-，使得它们的总和等于给定的目标值target的方法数。实际上，这个问题可以转化为一个经典的0-1背包问题。

首先，假设我们把所有选用+的数字放入一个背包A中，所有选用-的数字放入另一个背包B中。那么，背包A的总和减去背包B的总和应该等于target。同时，背包A和背包B中数字的总和加起来就是nums数组中所有数字的总和，记为sum。基于这两个条件，我们可以得到以下两个等式：

1. sumA - sumB = target
2. sumA + sumB = sum

通过解这两个等式，我们可以得到 sumA = (target + sum) / 2。这意味着问题转化为了寻找nums数组中有多少种组合，使得这些组合的和等于(target + sum) / 2。

解决0-1背包问题

这个转化后的问题是一个标准的0-1背包问题：给定一个容量为(target + sum) / 2的背包，nums数组中的每个数字都可以选择放入或不放入背包，求有多少种方法可以恰好填满背包。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义一个一维数组dp，其中dp[j]表示用nums数组中的数字填满容量为j的背包的方法数。初始化dp[0] = 1，表示容量为0的背包有一种填法（即不放入任何数字）。

然后，对于nums数组中的每个数字num，我们更新dp数组：对于每个容量j（从(target + sum) / 2到num），如果j >= num，则dp[j] += dp[j - num]。这表示如果当前数字可以放入容量为j的背包中，那么填满容量为j的背包的方法数就等于之前填满容量为j的方法数（不放入当前数字）加上填满容量为j - num的方法数（放入当前数字）。

代码实现

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total_sum = sum(nums)if abs(target) > total_sum or (target + total_sum) % 2 != 0:return 0package_a = (target + total_sum) // 2dp = [0] * (package_a + 1)dp[0] = 1for num in nums:for j in range(package_a, num - 1, -1):dp[j] += dp[j - num]return dp[package_a]

示例

输入: nums = [1, 1, 1, 1, 1], target = 3 输出: 5 解释: 有五种方法使得和为3:

• +1+1+1-1-1
• +1+1-1+1-1
• +1-1+1+1-1
• -1+1+1+1+1
• +1-1-1+1+1

通过将问题转化为0-1背包问题，并应用动态规划方法，我们可以高效地求解出结果。

1137. 第 N 个泰波那契数

使用动态规划，下面是直接规划

class Solution:def tribonacci(self, n: int) -> int:# 直接在状态数组dp中初始化前三个Tribonacci数dp = [0, 1, 1] + [0] * (n - 2)# 从第4个数开始计算（索引3），因为前三个数已经初始化for i in range(3, n + 1):dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1]return dp[n]

规避了要判断n是否小于3的操作，因为直接对dp的前三个进行赋值。
dp数组的前三个值被初始化为[0, 1, 1]，这对应于n = 0、n = 1和n = 2的情况。如果n小于3，dp[n]将直接返回正确的结果，无需额外的条件判断。对于n >= 3的情况，for循环将按照Tribonacci数的定义计算每个数值，并存储在dp数组中。最后，直接返回dp[n]作为结果。

记忆化搜索方法：

class Solution:def tribonacci(self, n: int) -> int:# 保存记忆memo = [0 for _ in range(n+1)]return self.do(n, memo)def do(self, n, memo):if n == 0:return 0elif n < 3:return 1# 检查是否已经计算过if memo[n] != 0:return memo[n]# 如果没有被计算过memo[n] = self.do(n-3, memo) + self.do(n-2, memo) + self.do(n-1, memo)return memo[n]

576. 出界的路径数

题目概述

题目“576.
出界的路径数”要求计算一个点从网格中的特定位置开始，最多移动N步后，有多少种路径可以使它移出网格的边界。每一步，这个点可以向上、下、左、右四个方向之一移动。

解题思路

解决这个问题的关键是理解我们如何使用动态规划（DP）来跟踪每一步移动后各个位置的路径数量，并最终计算出所有导致出界的路径。

动态规划

1. 定义状态： 我们定义一个二维数组dp[x][y]来表示当前步骤中从起始位置到达(x, y)的路径数。
2. 状态转移： 对于每一步，我们根据前一步的dp数组计算当前步的dp数组。如果从(x, y)出发的下一步移动会导致出界，则将这部分路径数累加到最终的计数中。
3. 初始化： 在第0步，我们将起始位置(i, j)的路径数设为1，因为在没有移动之前，存在一条路径停留在起点。

为了避免重复计算和节省空间，我们可以使用滚动数组技巧，即只维护两个二维数组交替表示当前步和前一步的状态。

边界处理

由于每一步移动都有可能导致点移出边界，我们需要在每一步检查四个方向的移动是否会导致出界。如果是，我们就把这次移动对应的路径数加到最终的计数中。

取模操作

由于路径数可能非常大，题目要求返回结果对10^9 + 7取模的值。这意味着每次累加路径数后，我们都应该对结果进行取模，以保证结果在合法的整数范围内。

代码实现

MOD = 10**9 + 7  # 定义模数，用于取模操作，防止整数溢出class Solution:def findPaths(self, m: int, n: int, N: int, i: int, j: int) -> int:if N == 0: return 0  # 如果没有移动次数，直接返回0dp = [[0] * n for _ in range(m)]  # 初始化dp数组，存储每个位置的路径数dp[i][j] = 1  # 将起始位置的路径数设为1count = 0  # 初始化出界路径的计数器for step in range(1, N+1):  # 遍历每一步temp = [[0] * n for _ in range(m)]  # 初始化临时数组，用于计算下一步的路径数for x in range(m):  # 遍历每个位置for y in range(n):for dx, dy in [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]:  # 遍历四个方向nx, ny = x + dx, y + dy  # 计算新位置if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n:  # 如果新位置在网格内temp[x][y] += dp[nx][ny]  # 累加路径数到临时数组else:  # 如果新位置出界count += dp[x][y]  # 累加当前位置的路径数到出界计数器temp[x][y] %= MOD  # 对每一步的结果取模，防止溢出dp = temp  # 将临时数组的结果赋值给dp，为下一步做准备return count % MOD  # 返回最终的出界路径数，并对结果取模

示例

假设m = 2, n = 2, N = 2, i = 0, j = 0，则有6种路径可以在2步内从(0, 0)移出网格边界。

通过逐步应用动态规划并在每一步累加出界的路径数，我们可以找到从给定起始位置移动N步后出界的所有路径数。这种方法通过避免重复计算并优化空间使用，有效解决了问题。