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一、考点讲解
1.定义
如果在数列{$a_n$}中，$a_{n+1}-a_n=d$（常数）$（n\in N_{＋}）$，则称数列{$a_n$}为等差数列，d为公差。
2.通项$a_n$
$a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d=nd+a_1-d$
评注：若已知两个元素，要会求公差$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$
3.前n项和$S_n$
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\times n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}\cdot n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$
4.重要性质
（1）若$m+n=k+t$，则$a_m+a_n=a_k+a_t$；
（2）$S_n$为等差数列前n项和，则$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}，....$仍是等差数列，公差为$n^{2}d$；
（3）等差数列{$a_n$}和{$b_n$}的前n项和分别用$S_n$，$T_n$表示，$\frac{a_k}{b_k}=\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}$。
二、考试解读
（1）掌握等差数列的通项和前n项和的特征。
（2）掌握等差数列的性质，会灵活应用性质化简求值。
（3）等差数列涉及五个参数：$a_1，a_n，d，n，S_n$，其关系是知三求二，核心参数是$d$。
（4）考试频率级别：高。
三、命题方向
考向1：数列的判断及定义
思路：若三个数a，b，c成等差数列，则b称为α和c的等差中项，即a+c =2b。
考向2：等差数列的通项
思路：根据公式$a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d=nd+a_1-d$分析。
考向3：等差数列的求和
思路：根据公式$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\times n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}\cdot n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$分析。
考向4：非常规方法求和
思路：数列的项的序号本应取正整数，但有时可虚拟一个小数0.5，求解会更简便．将公式$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}$，n转化为$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$（n为偶数时，可虚拟小数），比如$S_{10}=10a_{5.5}$。同样，有$a_m+a_n=2a_{\frac{m+n}{2}}$，比如$a_3+a_5=2a_{5.5}$。尤其是做选择题时，不需要参考解题过程评分，利用这样的方式来处理更准、更快。
考向5：等差数列元素的性质
思路：若$k\in Z_{+}，m+n=k+t，则a_m+a_n=a_k+a_t$
考向6：等差数列求和的性质
思路：对于等差数列，$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}，\dots$仍为等差数列，其公差为$n^{2}d$。

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思路：等差数列的参数为“$a_1，d，n，a_n，S_n$”，其核心参数为“$a_1，d$”，并能利用“知二求三”的思路来求解问题。
考向1：等差数列与函数关系
思路：
（1）等差数列的通项公式：$a_n=dn+(a_1-d)$是关于n 的一次函数；
（2）$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，即$S_n$是关于n的无常数的二次函数，所以$\frac{S_n}{n}=\frac{d}{2}n+(a_1-\frac{d}{2})$是关于n的一次函数，{$\frac{S_n}{n}$}是公差为$\frac{d}{2}$的等差数列；
（3）$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$过原点，所以根据二次函数的性质，可以快速求解最值。

考向2：等差数列求和大招公式
思路：利用公式$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$可以快速秒杀，出奇制胜。

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（一）等差数列通项公式
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同—常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d来表示．用递推关系式表示为$a_{n+1}-a_n=d（n\in N_{+}）$或$a_n-a_{n-1}=d（n\ge 2，n\in N_{+}）$
2.等差数列的通项公式
若{$a_n$}为等差数列，首项为$a_1$，公差为d，则$a_n=a_1+(n-1)d$。
（二）等差数列的性质
（1）若a,b,c成等差数列，则b是a、c的等差中项，即$b=\frac{a+c}{2}$。
（2）若数列{$a_n$}是等差数列，$m+n=p+q=2w$，则$a_m+a_n=a_p+a_q=2a_w（m,n，p，q，w都是正整数）$。
（3）若数列{$a_n$}是等差数列，$m，p，n$成等差数列，则$a_m，a_p，a_n$也成等差数列（m，n，p都是正整数）。
（4）若数列{$a_n$}是等差数列，则$a_n=a_m+(n-m)d$（m，n都是正整数）。
（5）若数列{$a_n$}是等差数列，则$a_n=pn+q$（$p，q\in R$) 。
（6）若数列{$a_n$}是等差数列，则数列{$\lambda a_n+b$}（λ，b为常数）仍为等差数列。
（7）若{$a_n$}和{$b_n$}均为等差数列，则{$a_n\pm b_n$}也是等差数列。

（三）等差数列前n项和
（1）一般地，我们称$a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$为数列{$a_n$}的前n项和，用$S_n$表示，记为$S_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$。当n=1时，$a_1=S_1$；当n≥2时，有$a_n=S_n-S_{n-1}$，所以$a_n$与$S_n$的关系为：
$$a_n=\{\begin{array}{ll}{a}_1=S_1,& \text{n=1}\\ S_n-S_{n-1},& \text{n≥2}\end{array}$$
（2）等差数列{$a_n$}的前n项和公式：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}\cdot n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$

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1. 定义
   如果在数列{$a_n$}中，$a_{n+1}-a_n=d$（常数）（n∈N），则称数列{$a_n$}为等差数列，d为公差。
2. 通项公式
   （1）基本公式
   $a_n=a_1+(n-1)d$
   （2）扩展公式
   $a_n=a_k+(n-k)d$
   （3）函数特征
   当公差d不为零时，可将其抽象成关于n的一次函数$f(n)=dn+(a_1-d)$，其斜率为一次项系数d，一次函数各项系数之和为首项，在y轴上的截距为$(a_1-d)$。
   如：$a_n=3n-5$。可知有些通项公式的数列是一个等差数列，且公差是3，首项为-2。
3. 首n项和公式（重点）
   （1）基本公式
   $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$
   【评注】本公式用于已知首末项和项数时的求和。
   （2）扩展公式
   $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$
   【评注】本公式用于已知首项、公差和项数时的求和。
   （3）函数特征
   $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$
   当公差d不为0时，可将其抽象成关于n的二次函数$f(n)=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，
   其特点：
   ① 常数项为零，过零点；
   ② 开口方向由d的符号决定；
   ③ 二次项系数为半公差$(\frac{d}{2})$；
   ④对称轴$x=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$（求最值）；
   ⑤若d不为零，等差数列的前n项和只能为二次函数；若d等于零，则退化成一次函数。二次函数各项系数之和是首项。
   【评注】等差数列的前n项和的解析表达式是不含常数项的二次函数。如$S_n=3n^2-5n$，可以肯定，$S_n$是等差数列的前n项之和的表达式，这一等差数列的公差是6，首项是-2。
   【注意】如果$S_n$是一个含有常数项的二次函数，则常数项被加在首项，其余各项不变，所以从第二项以后的各项仍然构成等差数列，其特点仍符合上述规律。
   如：$S_n=2n^2-3n+4$，$a_1=S_1=3$，以后的各项仍为等差数列，公差为4，即$S_n=2n^2-3n+4$所形成的数列为：$3,3,7,11,15,\mathrm{19...}$。
   （4）公式
   若$S_n=a{n}^2+bn+c$，则
   $$a_n=\{\begin{array}{ll}{a}_1=S_1=a+b+c,& \text{n=1}\\ 2an+b-a,& \text{n≥2}\end{array}$$
   当c为0时，是等差数列，此时可以合写为$a_n=2an+b-a$。
4. 等差数列的性质
   （1）元素性质
   若$m,n,l,k\in Z^{+}，m+n=l+k，$则$a_m+a_n=a_l+a_k$。
   【注意】可以将此公式推广到多个，但要满足两个成立条件；一是脚码之和要分别相等，二是等号两端的项数要分别相等。如：
   $a_2+a_8+a_{12}=a_4+a_7+a_{11}\ne a_6+a_{16}$。（因为项数不同）
   （2）求公差$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$
   （3）若$S_n$为等差数列前n项和，则$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，…仍为等差数列，其公差为$n^{2}d$。

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等差数列通项公式与前n项的和快速转化
等差数列的通项公式：形如一个一次函数：$a_n=dn+a_1-d$。
等差数列的前n项和：形如一个不含常数项的二次函数：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$。

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