欧拉回路算法

1 基本概念

1.1 欧拉路径和欧拉回路

欧拉回路： 在一个图中，由i点出发，将每个边遍历一次最终回到出发点i的一条路径。具有欧拉回路的图称为欧拉图。

无向图
存在欧拉回路的充要条件是所有的点的度数均为偶数
因为每个点的度数为偶数，所以可以将整个图看做由数个环嵌套而成，因为环一定能找到一条欧拉回路，所以整个图也能找到欧拉回路。
有向图
存在欧拉回路的充要条件是所有的点的出度均等于入度
对于每一个点，每次进入这个节点，就一定有一条路可以出去，因此必定存在一条欧拉回路。

欧拉路径： 在一个图中，由i点出发，将每个边遍历一次最终到达j点的一条路径。

1、欧拉回路的情况。
2、所有点中出度比入度大1的点有一个，入度比出度大1的点有一个，不允许有大几个的情况。

2 欧拉回路判定算法

2.1 Fleury(弗罗莱) 算法

Fleury算法用来判断图是否是欧拉通路或欧拉回路的算法。
使用如下的欧拉图，了解Fleury算法的主要步骤。
在这里插入图片描述

选节点1为起点，并将该起点加入路径中。Fleury算法选择栈存储欧拉路径。
从起点开始，一路DFS试着走出一条通路。方法是找与此节点相邻的节点。
如果只有一个节点，则将这个点直接加入路径中。
如果有多个相邻节点，则选择其中一条边，把相邻节点加入路径后，且删除这一条边。
如果没有邻接节点，则从路径中弹出。
节点5和节点2都与1相邻，可以选择向5方向，也可以选择2方向。这里选择2方向，把节点2放入路径，然后置1-2这条边为删除状态。如此这般，一路经过3、4、5节点后回到1号节点。下图中标记为红色的边表示已经访问或被删除。
重新回到节点1，此时不再存在与节点1邻接的节点，从路径中弹也，依次可弹出5、4、3。直到碰到2号节点。
因为存在与2号节点邻接的节点，再次以2号节点为始点，使用DFS开路。一路上遇到6、7，且再次回到2号节点。
2号节点不存在与之邻接的节点，出栈。同理，7、6依次出栈。

小结：
当有与当前节点邻接的节点时，一路DFS，直到没有邻接的尽头。些时，一轮DFS算法结束，从路径中依次弹出没有邻接节点的节点，直到遇到还有邻接节点的节点，新一轮的DFS重新开始。直到所有节点邻接的边全部访问完毕。
编码实现：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stack>
#define INF 100000
using namespace std;
int graph[100][100];
int n,m;
stack<int> sta;
void read() {for(int i = 0; i < m; i++) {int f,t;cin >> f >> t;graph[f][t] = 1;graph[t][f] = 1;}
}
void dfs(int u) {sta.push(u);for(int i = 1; i <= n; i++) {if(graph[i][u] > 0) {//标记为删除graph[u][i] = 0;graph[i][u] = 0;dfs(i);//仅朝一条边方向 DFS,方便形成回路 break;}}
}
void fleury(int x) {int  isEdge;sta.push(x);while(!sta.empty()) {isEdge = 0;int t = sta.top();sta.pop();//检查是否有边for(int i = 1; i <= n; i++) {if(graph[t][i] > 0) {isEdge = 1;break;}}if(isEdge == 0) {//没有邻接边，输出cout << t << " ";} else {//有邻接边，一路DFS狂奔dfs(t);}}
}
int main() {cin >> n >> m;memset(graph,0,sizeof(graph));read();int num = 0;int start = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) {int deg = 0;for(int j = 1; j <= n; j++)deg += graph[i][j];if(deg % 2 == 1) {//奇节点的数量start = i;num++;}}if(num == 0 || num == 2)fleury(start);elsecout << "不存在欧拉路径" << endl;return 0;
}
//测试用例
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
2 7    
3 4
4 5
6 7

测试结果
在这里插入图片描述

2.2 Hierholzer 算法

也称逐步插入回路法。由数学家卡尔·希尔霍尔策给出，基于贪心思想。Hierholzer 的基本思路。先找到一个子回路，以此子回路为基础，逐步将其它回路以插入的方式合并到该子回路中，最终形成完整的欧拉回路。继续使用上图做演示。

寻找子回路：如下从节点1开始，沿着边遍历图，一边遍历一边删除经过的边。如果遇到一个所有边都被删除的节点，那么该节点必然是 1（回到初始点）。将该回路上的节点和边添加到结果序列中。这个过程和Fleury算法没有太多区别。
回溯时检查刚添加到结果序列中的节点，看是否还有与节点相连且未遍历的边。可发现节点 2 有未遍历的边，则从 2 出发开始遍历，找到一个包含2 的新回路，将结果序列中的一个 2 用这个新回路替换，此时结果序列仍然是一个回路。这是和Fleury算法最大区别。
重复直到所有边都被遍历。

编码实现：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<vector>const int maxn = 10005;
const int maxm = 1000005;//edge
using namespace std;
int n,m;
struct Edge {int to, nxt;bool vis=0;
};
Edge edge[maxm];
//如果没有以 i 为起点的有向边则 head[i] 的值为 0
int head[maxm];
//边的个数
int cnt;
//存储找到的回路
vector<Edge> ans;
//起始点
int sn;void init() {for(int i=1; i<=n; i++) {head[i]=0;cnt=0;}
}/*
*添加边
*/
void addEdge(int from, int to) {edge[cnt].to = to;edge[cnt].nxt = head[from];head[from] = cnt++;
}
void read() {int f,t;for(int i=1; i<=m; i++) {cin>>f>>t;addEdge(f,t);addEdge(t,f);}
}
void hierholzer(int sn) {for (int i = head[sn]; i != 0; i = edge[i].nxt) {// 遍历过if (edge[i].vis) continue;// 删除edge[i].vis = edge[i ^ 1].vis = true;// 继续hierholzer(edge[i].to);// 回溯时加入结果序列后，循环会继续查找是否有邻接边ans.push_back(edge[i]);}
}
void show() {for(int i=0; i<ans.size(); i++) {cout<<ans[i].to<<"\t";}cout<<sn<<"\t";
}int main() {cin>>n>>m;sn=1;init();read();hierholzer(sn);show();return 0;
}