一、实验内容简介

该实验主要使用频繁模式和关联规则进行数据挖掘，在已经使用过Apriori算法挖掘频繁模式后，这次使用FP-tree算法来编写和设计程序，依然使用不同规模的数据集来检验效果，最后分析和探讨实验结果，看其是否达到了理想的效果。本实验依然使用Python语言编写。

二、算法说明

首先简单介绍频繁模式和关联规则：

• 频繁模式一般是指频繁地出现在数据集中的模式。

• 关联规则是形如X→Y的蕴涵表达式，其中X和Y是不相交的项集，即X∩Y=∅。关联规则的强度可以用它的支持度（support）和置信度（confidence）来度量。计算公式如下：

• 支持度：support(A=>B)=P(A∪B)，表示A和B同时出现的概率。

• 置信度：confidence(A=>B)=support(A∪B)/support(A)，表示A和B同时出现的概率占A出现概率的比值。

• 强关联规则是指达到了最小支持度和最小置信度的关联规则。

然后再介绍FP-Tree算法：

2000年，Han Jiawei等人提出了基于频繁模式树（Frequent Pattern Tree, FP—Tree）的发现频繁模式的算法FP-Growth。其思想是构造一棵FP-Tree，把数据集中的数据映射到树上，再根据这棵FP-Tree找出所有频繁项集。

FP-Growth算法是指，通过两次扫描事务数据集，把每个事务所包含的频繁项目按其支持度降序压缩存储到FP-Tree中。在以后发现频繁模式的过程中，不需要再扫描事务数据集，而仅在FP-Tree中进行查找即可。通过递归调用FP-Growth的方法可直接产生频繁模式，因此在整个发现过程中也不需产生候选模式。由于只对数据集扫描两次，因此FP-Growth算法克服了Apriori算法中存在的问题，在执行效率上也明显好于Apriori算法。

上图为FP-Tree示意图，展示了该数据结构的构成方式。

三、算法分析与设计

了解完算法的基本原理后，现在开始真正实现该算法。首先需要读取最小支持度，读取数据集。这里的数据集可大可小，我用Python中的字典来表示数据

这里的数据存储格式与之前写Apriori算法时一样，使用字典来存储。然后由用户来输入支持度和置信度（因为这次还要挖掘关联规则，所以增加了置信度输入）。

作为FP-Tree的基础，首先构建树节点。一个节点有四个基本属性，分别节点名称、出现次数、双亲节点和孩子节点。因为这里不是二叉树，树的孩子节点个数不确定，因此用字典来存储，大小可控。

class Node:def __init__(self, value, parent, count=0):self.value = valueself.parent = parentself.count = countself.children = {}def addChild(self, child):self.children.update(child)def __init__(self, value, parent, count=0):

前置准备完成后，开始实现FP-Tree算法。FP-Tree算法可大致分为构建项头表、构建FP-Tree、利用条件模式基挖掘频繁模式和关联规则几步。把这几步集成到一个类中，这样避免了大量函数传参操作，思路更清晰。

首先构建项头表，先扫描一遍数据集挖掘频繁1项集，挖掘出来的数据按支持度降序排列，并按此顺序重新排列原数据集的数据，对于不符合要求的数据直接删除。

    def first_scan(self):"""生成项头表，整理数据"""Dict = dict()for i in self.data.values():for j in i:if j not in Dict.keys():Dict.update({j: 1})else:Dict[j] += 1self.first_list = list(Dict.items())self.first_list.sort(key=lambda l: l[1], reverse=True)for i in range(len(self.first_list) - 1, 0, -1):if self.first_list[i][1] < self.support * len(self.data):continueelse:rubbish = [self.first_list[j][0] for j in range(i + 1, len(self.first_list))]self.first_list = self.first_list[:i + 1]break# 将原来的数据重新按支持度排序并剔除非频繁1项集sort_refer = [i[0] for i in self.first_list]for i in self.data.values():for j in i:if j in rubbish:i.remove(j)i.sort(key=lambda l: sort_refer.index(l))# 添加频繁1项集self.pinfan.extend([list(i) for i in self.first_list])# 整理项头表self.value_list = [i[0] for i in self.first_list]temp = {}for i in self.first_list:temp.update({i[0]: []})self.first_list = temp

然后构建FP-Tree。这里的过程就比较复杂了，简要说明步骤。第二次遍历数据集，从上往下构建分支，每次若遇到之前没出现的节点，就新建一个新节点，同时更新FP-Tree和项头表，若遇到之前已经出现的节点，则该节点的次数加一。特殊的根节点不需要存储任何数据，只需要存储孩子节点。

    def first_scan(self):"""生成项头表，整理数据"""Dict = dict()for i in self.data.values():for j in i:if j not in Dict.keys():Dict.update({j: 1})else:Dict[j] += 1self.first_list = list(Dict.items())self.first_list.sort(key=lambda l: l[1], reverse=True)for i in range(len(self.first_list) - 1, 0, -1):if self.first_list[i][1] < self.support * len(self.data):continueelse:rubbish = [self.first_list[j][0] for j in range(i + 1, len(self.first_list))]self.first_list = self.first_list[:i + 1]break# 将原来的数据重新按支持度排序并剔除非频繁1项集sort_refer = [i[0] for i in self.first_list]for i in self.data.values():for j in i:if j in rubbish:i.remove(j)i.sort(key=lambda l: sort_refer.index(l))# 添加频繁1项集self.pinfan.extend([list(i) for i in self.first_list])# 整理项头表self.value_list = [i[0] for i in self.first_list]temp = {}for i in self.first_list:temp.update({i[0]: []})self.first_list = temp

然后基于FP-Tree同时挖掘频繁模式和关联规则。利用项头表，从支持度低的元素到支持度高的元素，找到该元素在FP-Tree的所有位置，然后自底向上读取其所有祖先节点（除了根节点），同时把出现的次数都改为该元素所对应节点的次数。挖掘出结果后，先剔除掉不满足支持度要求的项，再通过两两组合挖掘出频繁2项集，然后递归挖掘出频繁多项集。同时两两组合算出条件概率与置信度比较，挖掘出1对1的关联规则。

这里涉及到的操作最为复杂，代码量也最大，分了三个方法来实现。

# 详见附录
def find(self):
def cal(self, Dict: dict, delete=False, length=1):
def rules(self, Dict: dict):

四、测试结果

写完代码后，就又到了测试环节。分别测试正确性和性能。在测试性能的时候也会与Apriori算法做比较，以更好地感受到FP-Tree算法的高效性。

首先验证正确性。我使用了教材上的数据集来验证。

先给定0.5的支持度和0.75的置信度：

经过验证是正确的，再给定0.2的支持度和0.5的置信度：

可以看到输出结果大大增加，经过验证也是正确的。

接下来就要扩大数据集的容量了，这样才能分析算法的性能。这里再次使用随机变量来模拟大量的数据：

在这里，arr和data2都可以修改，arr可以修改其中的元素来改变权重，data2可以修改数量，这里统一使用0.5作为支持度，0.75作为置信度。

首先用100000的数据来测试：

可以看到，一共花了0.288秒。相比其他条件相同下的Apriori算法是1.7秒。

然后把数据量变为1000000来试试：

一共花了2.845秒，相比同期Apriori算法一共花了15.58秒。

然后把数据量变为10000000来试试：

一共花了28.054秒，相比同期Apriori算法一共花了171.1秒。

最后再把数据量变为一亿，下图是最终结果。

差不多跑了8分钟，同期Apriori算法半个小时也没跑出来。可以看出，两个算法所耗费的时间都随时间呈线性增长，但FP-Tree算法显然效率比Apriori算法高得多。

五、分析与探讨

测试完算法后，来分析它的性能，思考FP-Tree算法的优势和缺陷。与Apriori算法相比，FP-Tree算法改进了Apriori算法的I/O瓶颈，巧妙的利用了树结构。Apriori的核心思路是用两个长度为l的频繁项集去构建长度为l+1的频繁项集，而FP-growth则稍有不同。它是将一个长度为l的频繁项集作为前提，筛选出包含这个频繁项集的数据集。用这个数据集构建新的FP-tree，从这个FP-tree当中寻找新的频繁项。如果能找到，那么说明它可以和长度为l的频繁项集构成长度为l+1的频繁项集。然后，我们就重复这个过程。

FP-Tree算法无论从复杂度还是实现难度还是具体技术点来看都比Apriori算法更复杂，但复杂度提高此带来的好处则是更高的效率和更好的性能。二者均为频繁模式挖掘的经典算法，都有必要学习和掌握，期待未来还能不断开发出挖掘频繁模式更加高效的算法。

附录：源代码

# 使用FP-tree实现频繁模式和关联规则挖掘
import itertools
import random
from time import time# 构建树的节点
class Node:def __init__(self, value, parent, count=0):self.value = valueself.parent = parentself.count = countself.children = {}def addChild(self, child):self.children.update(child)# 构建FP-tree
class FP_tree:def __init__(self, data, support, confidence):self.data = dataself.first_list = []self.value_list = []self.support = supportself.confidence = confidenceself.tree = Noneself.pinfan = []self.rule = []def first_scan(self):"""生成项头表，整理数据"""Dict = dict()for i in self.data.values():for j in i:if j not in Dict.keys():Dict.update({j: 1})else:Dict[j] += 1self.first_list = list(Dict.items())self.first_list.sort(key=lambda l: l[1], reverse=True)for i in range(len(self.first_list) - 1, 0, -1):if self.first_list[i][1] < self.support * len(self.data):continueelse:rubbish = [self.first_list[j][0] for j in range(i + 1, len(self.first_list))]self.first_list = self.first_list[:i + 1]break# 将原来的数据重新按支持度排序并剔除非频繁1项集sort_refer = [i[0] for i in self.first_list]for i in self.data.values():for j in i:if j in rubbish:i.remove(j)i.sort(key=lambda l: sort_refer.index(l))# 添加频繁1项集self.pinfan.extend([list(i) for i in self.first_list])# 整理项头表self.value_list = [i[0] for i in self.first_list]temp = {}for i in self.first_list:temp.update({i[0]: []})self.first_list = tempdef build_tree(self):"""建立FP-tree:return:fp-tree"""root = Node('root', None)parent = rootfor i in self.data.values():for j in i:# 更新树和项头表head = self.first_listif j not in parent.children.keys():node = Node(j, parent, 1)temp = {j: node}parent.addChild(temp)head[j].append(node)else:parent.children[j].count += 1parent = parent.children[j]parent = rootself.tree = rootdef find(self):"""利用建立好的树挖掘频繁模式"""for i in self.value_list[::-1]:i_dict = {}for j in self.first_list[i]:k = jcount = j.countwhile k != None:if k.value not in i_dict.keys():i_dict[k.value] = countelse:i_dict[k.value] += countk = k.parentdel i_dict['root']self.cal(i_dict, True)def cal(self, Dict: dict, delete=False, length=1):if delete:# 预处理，删去支持度低的项d = Dict.copy()for i, j in d.items():if j < self.support * len(self.data):del Dict[i]if length == 1:self.rules(Dict)# 递归挖掘频繁模式if length <= len(Dict):l = list(Dict.keys())pinfan = [l[0], Dict[l[0]]]del l[0]result = itertools.combinations(l, length)for i in result:p = pinfan.copy()for j in i:p.insert(-1, j)if Dict[j] < p[-1]:p[-1] = Dict[j]p[0:-1] = p[-2::-1]self.pinfan.append(p)self.cal(Dict, length=length + 1)def rules(self, Dict: dict):"""只生成1对1的关联规则:param Dict:数据源"""if len(Dict) > 1:l = list(Dict.keys())for i in l[1:]:if min(Dict[l[0]], Dict[i]) / Dict[l[0]] > self.confidence:self.rule.append(f"{l[0]}=>{i}")def __str__(self):"""输出频繁模式:return: 所有的频繁模式"""print("1对1的关联规则：" + str(self.rule))self.pinfan.sort(key=lambda l: (len(l), l[-1]), reverse=True)return "所有的频繁模式：" + str(self.pinfan)if __name__ == '__main__':data = {1: ['牛奶', '鸡蛋', '面包', '薯片'],2: ['鸡蛋', '爆米花', '薯片', '啤酒'],3: ['牛奶', '面包', '啤酒'],4: ['牛奶', '鸡蛋', '面包', '爆米花', '薯片', '啤酒'],5: ['鸡蛋', '面包', '薯片'],6: ['鸡蛋', '面包', '啤酒'],7: ['牛奶', '面包', '薯片'],8: ['牛奶', '鸡蛋', '面包', '黄油', '薯片'],9: ['牛奶', '鸡蛋', '黄油', '薯片'],10: ['鸡蛋', '薯片']}arr = ['牛奶', '面包', '鸡蛋', '馒头', '包子', '饼干']support = float(input('请输入最小支持度：'))confidence = float(input('请输入最小置信度：'))data2 = {i: [random.choice(arr) for j in range(10)] for i in range(100000)}begin = time()f = FP_tree(data2, support, confidence)f.first_scan()f.build_tree()f.find()print(f)print("总花费时间为%.3f秒" % (time() - begin))