每日OJ题_两个数组dp①_力扣1143. 最长公共子序列

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力扣1143. 最长公共子序列

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力扣1143. 最长公共子序列

1143. 最长公共子序列

难度 中等

给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

  • 例如,"ace" 是 "abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1:

输入:text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出:3  
解释:最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3 。

示例 2:

输入:text1 = "abc", text2 = "abc"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3 。

示例 3:

输入:text1 = "abc", text2 = "def"
输出:0
解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0 。

提示:

  • 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
  • text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。
class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {}
};

解析代码

状态表示:

        对于两个数组的动态规划,定义状态表是的经验就是:选取第一个数组 [0, i] 区间以及第二个数组 [0, j] 区间作为研究对象。结合题目要求,定义状态表示。

在这道题中,根据题目定义状态表示为:

dp[i][j] 表示: s1 的 [0, i] 区间以及 s2 的 [0, j] 区间内的所有的子序列中,最长公共子序列的长度


状态转移方程:

        分析状态转移方程的经验就是根据最后一个位置的状况,分情况讨论。 对于 dp[i][j] ,可以根据 s1[i] 与 s2[j] 的字符分情况讨论:

  • 两个字符相同, s1[i] = s2[j] :那么最长公共子序列就在 s1 的 [0, i - 1] 以 及 s2 的 [0, j - 1] 区间上找到⼀个最长的,然后再加上 s1[i] 即可。因此 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 ;
  • 两个字符不相同, s1[i] != s2[j] :那么最长公共子序列一定不会同时以 s1[i] 和 s2[j] 结尾。那么我们找最长公共子序列时,有下面三种策略:
  1. 去 s1 的 [0, i - 1] 以及 s2 的 [0, j] 区间内找:此时最大长度为 dp[i- 1][j] 。
  2. 去 s1 的 [0, i] 以及 s2 的 [0, j - 1] 区间内找:此时最大长度为 dp[i ][j - 1] 。
  3. 去 s1 的 [0, i - 1] 以及 s2 的 [0, j - 1] 区间内找:此时最大长度为dp[i - 1][j - 1] 。

        我们要三者的最大值即可。但是我们细细观察会发现,第三种包含在第⼀种和第二种情况里面,但是我们求的是最大值,并不影响最终结果。因此只需求前两种情况下的最大值即可。

综上,状态转移方程为:

  • if(s1[i] == s2[j]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 ;
  • if(s1[i] != s2[j]) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) ;

初始化、填表顺序、返回值:

        初始化:空串是有研究意义的,因此我们将原始 dp 表的规模多加上一行和一列,表示空串。 引入空串后,大大的方便我们的初始化。 但也要注意下标的映射关系,以及里面的值要保证后续填表是正确的。 当 s1 为空时,没有长度,同理 s2 也是。因此第一行和第一列里面的值初始化为 0 即可保证后续填表是正确的,还可以通过在s1和s2最前面加上一个字符来对应下标的映射

填表顺序:从上往下填写每一行,每一行从左往右,最后返回dp[m][n]。

class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {// dp[i][j] 表示: s1 的 [0, i] 区间以及 s2 的 [0, j] 区间// 内的所有的子序列中,最长公共子序列的长度int m = text1.size(), n = text2.size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));// text1 = " " + text1, text2 = " " + text2; // 注释掉,在原数组找i,j就要-1for(int i = 1; i <= m; ++i){for(int j = 1; j <= n; ++j){if(text1[i - 1] == text2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);}}return dp[m][n];}
};

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